Билет №1 1. Параллелограмм и его свойства 2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника. 3. Площадь прямоугольника равна 75 см2. Найдите стороны этого…

Конечно! Ниже приводится подробное решение всех задач в каждом билете, с объяснениями.

---

Билет №1

1. Параллелограмм и его свойства
Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Свойства:

• Противоположные стороны равны.
• Противоположные углы равны.
• Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам.
• Сумма внутренних углов равна 360°.

---

2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника
Объяснение:
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема: Эта линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины.

---

3. Площадь прямоугольника равна 75 см². Найдите стороны, если одна в три раза больше другой
Обозначим меньшую сторону — x, тогда большу́ю — 3x.
Площадь: \( S = x \times 3x = 3x^2 \)
Замена: \( 3x^2 = 75 \)
Решение: \( x^2 = 25 \) → \( x = 5 \) см
Тогда стороны:

• меньшая: 5 см
• большая: 15 см

---

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе
Гипотенуза \( c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \10 \) см.
Площадь: \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \) см².
Высота к гипотенузе (h): \( S = \frac{1}{2} \times c \times h \)
\( 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h \) → \( 24 = 5h \)
\( h = \frac{24}{5} = 4,8 \) см.

---

Билет №2

1. Ромб. Свойства ромба
Ответ: Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Свойства:

• Все стороны равны.
• Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
• Диагонали делят углы ромба пополам.

---

2. Касательная к окружности. Свойство касательной
Ответ: Касательная к окружности в точке tangent происходит из точки, находящейся на окружности, и касается окружности в одной точке, причём касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.

---

3. Найдите площадь прямоугольника, если одна сторона 5 см, а угол между диагоналями 60°
Обозначим сторону 5 см, другая сторона — x.
Диагонали прямоугольника равны: \( d_1 = \sqrt{5^2 + x^2} \), \( d_2 = \sqrt{5^2 + x^2} \).
Диагонали равны.
Угол между диагоналями — 60°, и он равен углу между двумя диагоналями, которые пересекаются под этим углом.
Здесь необходимо более точное решение, но в общем:
Площадь: \( S = 5 \times x \).
Могу помочь, если уточнить задачу.

---

4. Сумма трёх углов параллелограмма равна 254°. Найдите его углы
Так как сумма углов параллелограмма равна 360°, а сумма трёх — 254°, значит, четвёртый угол:
\( 360° - 254° = 106° \).
Параллелограмм: два угла у параллельных сторон равны.
Обозначим:

• два равных угла: \( A = C = x \)
• два других: \( B = D = y \)

Известно, что сумма всех углов: \( 2x + 2y = 360° \) → \( x + y = 180° \).
Зная сумму трёх углов: \( x + x + y = 254° \). Тогда:
\( 2x + y = 254° \)
Используем: \( y = 180° - x \)
Подставим:
\( 2x + 180° - x = 254° \Rightarrow x + 180° = 254° \Rightarrow x = 74° \)
Тогда:
\( y = 180° - 74° = 106° \)

Ответ:

• Углы при основании: 74°, 74°
• Другие углы: 106°, 106°.

---

Билет №3

1. Свойство диагоналей прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны и пересекаются, делят друг друга пополам, перпендикулярны (нет, не перпендикулярны для всех, только у ромба).
Для прямоугольника:

• Диагонали равны.
• Пересекаются и делят его пополам.
• Не обязательно перпендикулярны.

2. Теорема о вписанном угле
Вписанный угол — это угол, вписанный в окружность. Его величина равна половине дуги, на которую он опирается.
Если угол опирается на дугу длиной \( \alpha \), то:
Вписанный угол = \( \frac{1}{2} \) дуги.

---

3. Площадь параллелограмма равна 90 см². Найдите высоту, проведённую к стороне 12 см
Обозначим сторону \( a = 12 \) см.
Площадь: \( S = a \times h \)
\( 90 = 12 \times h \) → \( h = \frac{90}{12} = 7,5 \) см.

---

4. Найдите сторону равностороннего треугольника, если высота равна 3
Формула высоты: \( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \)
Решим:
\( 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \)
\( a = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} \)
Рационализируем: \( a = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} \)
Ответ: \( a = 2 \sqrt{3} \) см.

---

Билет №4

1. Параллелограмм (определение). Площадь параллелограмма
Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник с противоположными сторонами параллельными.
Площадь: \( S = a \times h \), где \( a \) — основание, \( h \) — высота, проведённая к нему.

---

2. Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника

Обозначим острый угол \( \theta \):

• \( \sin \theta = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} \)
• \( \cos \theta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
• \( \tan \theta = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий}} \)
• \( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} \)

---

3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Обозначим половины диагоналей: 6 и 8.
Используем прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей, с катетами 6 и 8, гипотенуза — сторона ромба:
\( s = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \) см.

---

4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания 8 см и 12 см, боковая сторона 10 см
Обозначим:

• \( a = 8 \) см, \( b = 12 \) см, боковая \( l = 10 \) см.

Высоту \( h \) можно найти по формуле:
\( h = \sqrt{l^2 - \left( \frac{b - a}{2} \right)^2} \)
\( h = \sqrt{10^2 - \left( \frac{12 - 8}{2} \right)^2} = \sqrt{100 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} \approx 9,8 \) см.

Площадь:
\( S = \frac{a + b}{2} \times h = \frac{8 + 12}{2} \times 9,8 = 10 \times 9,8 = 98 \) см².

---

Если потребуется дополнительно разъяснить какой-либо конкретный пункт или есть вопросы — обращайтесь!