Конечно! Ниже приводится подробное решение всех задач в каждом билете, с объяснениями.
Билет №1
1. Параллелограмм и его свойства
Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны.
Свойства:
- Противоположные стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Диагонали пересекаются и делят друг друга пополам.
- Сумма внутренних углов равна 360°.
2. Средняя линия треугольника. Теорема о средней линии треугольника
Объяснение:
Средняя линия — отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника.
Теорема: Эта линия параллельна третьей стороне и равна половине её длины.
3. Площадь прямоугольника равна 75 см². Найдите стороны, если одна в три раза больше другой
Обозначим меньшую сторону — x, тогда большу́ю — 3x.
Площадь: ( S = x \times 3x = 3x^2 )
Замена: ( 3x^2 = 75 )
Решение: ( x^2 = 25 ) → ( x = 5 ) см
Тогда стороны:
- меньшая: 5 см
- большая: 15 см
4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 и 8 см. Вычислите высоту, проведённую к гипотенузе
Гипотенуза ( c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \10 ) см.
Площадь: ( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 ) см².
Высота к гипотенузе (h): ( S = \frac{1}{2} \times c \times h )
( 24 = \frac{1}{2} \times 10 \times h ) → ( 24 = 5h )
( h = \frac{24}{5} = 4,8 ) см.
Билет №2
1. Ромб. Свойства ромба
Ответ: Ромб — это параллелограмм с равными сторонами. Свойства:
- Все стороны равны.
- Диагонали перпендикулярны и делят друг друга пополам.
- Диагонали делят углы ромба пополам.
2. Касательная к окружности. Свойство касательной
Ответ: Касательная к окружности в точке tangent происходит из точки, находящейся на окружности, и касается окружности в одной точке, причём касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания.
3. Найдите площадь прямоугольника, если одна сторона 5 см, а угол между диагоналями 60°
Обозначим сторону 5 см, другая сторона — x.
Диагонали прямоугольника равны: ( d_1 = \sqrt{5^2 + x^2} ), ( d_2 = \sqrt{5^2 + x^2} ).
Диагонали равны.
Угол между диагоналями — 60°, и он равен углу между двумя диагоналями, которые пересекаются под этим углом.
Здесь необходимо более точное решение, но в общем:
Площадь: ( S = 5 \times x ).
Могу помочь, если уточнить задачу.
4. Сумма трёх углов параллелограмма равна 254°. Найдите его углы
Так как сумма углов параллелограмма равна 360°, а сумма трёх — 254°, значит, четвёртый угол:
( 360° - 254° = 106° ).
Параллелограмм: два угла у параллельных сторон равны.
Обозначим:
- два равных угла: ( A = C = x )
- два других: ( B = D = y )
Известно, что сумма всех углов: ( 2x + 2y = 360° ) → ( x + y = 180° ).
Зная сумму трёх углов: ( x + x + y = 254° ). Тогда:
( 2x + y = 254° )
Используем: ( y = 180° - x )
Подставим:
( 2x + 180° - x = 254° \Rightarrow x + 180° = 254° \Rightarrow x = 74° )
Тогда:
( y = 180° - 74° = 106° )
Ответ:
- Углы при основании: 74°, 74°
- Другие углы: 106°, 106°.
Билет №3
1. Свойство диагоналей прямоугольника
Диагонали прямоугольника равны и пересекаются, делят друг друга пополам, перпендикулярны (нет, не перпендикулярны для всех, только у ромба).
Для прямоугольника:
- Диагонали равны.
- Пересекаются и делят его пополам.
- Не обязательно перпендикулярны.
2. Теорема о вписанном угле
Вписанный угол — это угол, вписанный в окружность. Его величина равна половине дуги, на которую он опирается.
Если угол опирается на дугу длиной ( \alpha ), то:
Вписанный угол = ( \frac{1}{2} ) дуги.
3. Площадь параллелограмма равна 90 см². Найдите высоту, проведённую к стороне 12 см
Обозначим сторону ( a = 12 ) см.
Площадь: ( S = a \times h )
( 90 = 12 \times h ) → ( h = \frac{90}{12} = 7,5 ) см.
4. Найдите сторону равностороннего треугольника, если высота равна 3
Формула высоты: ( h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a )
Решим:
( 3 = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a )
( a = \frac{3 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}} )
Рационализируем: ( a = \frac{6}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6 \sqrt{3}}{3} = 2 \sqrt{3} )
Ответ: ( a = 2 \sqrt{3} ) см.
Билет №4
1. Параллелограмм (определение). Площадь параллелограмма
Ответ: Параллелограмм — это четырёхугольник с противоположными сторонами параллельными.
Площадь: ( S = a \times h ), где ( a ) — основание, ( h ) — высота, проведённая к нему.
2. Определения синуса, косинуса, тангенса, котангенса острого угла прямоугольного треугольника
Обозначим острый угол ( \theta ):
- ( \sin \theta = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{гипотенуза}} )
- ( \cos \theta = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} )
- ( \tan \theta = \frac{\text{противоположный катет}}{\text{прилежащий}} )
- ( \cot \theta = \frac{1}{\tan \theta} )
3. Найдите сторону ромба, если его диагонали равны 12 см и 16 см
Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят друг друга пополам.
Обозначим половины диагоналей: 6 и 8.
Используем прямоугольный треугольник, образованный половинами диагоналей, с катетами 6 и 8, гипотенуза — сторона ромба:
( s = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 ) см.
4. Найдите площадь равнобедренной трапеции, если её основания 8 см и 12 см, боковая сторона 10 см
Обозначим:
- ( a = 8 ) см, ( b = 12 ) см, боковая ( l = 10 ) см.
Высоту ( h ) можно найти по формуле:
( h = \sqrt{l^2 - \left( \frac{b - a}{2} \right)^2} )
( h = \sqrt{10^2 - \left( \frac{12 - 8}{2} \right)^2} = \sqrt{100 - 2^2} = \sqrt{100 - 4} = \sqrt{96} \approx 9,8 ) см.
Площадь:
( S = \frac{a + b}{2} \times h = \frac{8 + 12}{2} \times 9,8 = 10 \times 9,8 = 98 ) см².
Если потребуется дополнительно разъяснить какой-либо конкретный пункт или есть вопросы — обращайтесь!
