Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего конуса.

Давайте подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом. **Дано:** - Объем большого конуса \( V_{большого} = 120 \) - Через середину высоты большого конуса проведено сечение, параллельное основанию. - Эта сечение образует меньший конус с той же вершиной, что и большой. - Нужно найти объем меньшего конуса \( V_{меньшего} \). --- ### Шаг 1: Визуализация задачи и ключевые идеи - Вырезается сечение, соединяющее вершину конуса и точку на средней высоте. - Это сечение параллельно основанию, поэтому оно делит конус на два фигуры: меньший конус сверху и остаток снизу. - В результате получается два конуса: меньший, полностью внутри большого, и большая "оболочка" снизу. ### Шаг 2: Свойства сечения, проведенного через середину высоты - Проводим сечение через середину высоты большого конуса, которая равна \( h \). - Это сечение делит вершину на две части в одинаковых пропорциях по высоте, потому что оно расположено в середине. **Важно:** - Параллельное сечение делит конус по подобию. - Радиус сечения на высоте \( h/2 \) равен половине радиуса основания, если пропорции сохраняются. --- ### Шаг 3: Связь между радиусами и высотами Обозначим: - Радиус основания большого конуса: \( R \) - Высота большого конуса: \( H \) Поскольку сечение происходит на половине высоты (\( H/2 \)), радиус сечения \( r \) можно найти по подобию: \[ \frac{r}{R} = \frac{h/2}{H} = \frac{1}{2} \Rightarrow r = \frac{R}{2} \] **Следовательно:** радиус сечения в середине высоты равен половине радиуса основания. --- ### Шаг 4: Анализ меньшего конуса Меньший конус образуется вершиной и основанием с радиусом \( r = R/2 \), высота этого меньшего конуса \( h_меньшего \): \[ h_меньшего = \frac{H}{2} \] (**Потому что сечение делает уровень высоты, равный половине общего; и малый конус имеет такую же пропорцию по радиусу и высоте.**) --- ### Шаг 5: Вычисление объемов Объем конуса: \[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \] Объем большого конуса: \[ V_{большого} = 120 \] Малый конус — подобен большому, радиус: \( R/2 \), высота: \( H/2 \). Объем меньшего конуса: \[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \] Подставляем \( r = R/2 \) и \( h = H/2 \): \[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \frac{H}{2} = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{4} \frac{H}{2} \] Упростим: \[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{3} \pi R^2 H \right) \times \frac{1}{8} \] Значит: \[ V_{меньшего} = V_{большого} \times \frac{1}{8} = 120 \times \frac{1}{8} = 15 \] --- ### **Ответ:** **Объем меньшего конуса равен \(\boxed{15}\).**