Объем конуса равен 120. Через середину высоты параллельно основанию конуса проведено сечение, которое является основанием меньшего конуса с той же вершиной. Найдите объем меньшего…

Давайте подробно разберем задачу и решим ее шаг за шагом.

Дано:

• Объем большого конуса \( V_{большого} = 120 \)
• Через середину высоты большого конуса проведено сечение, параллельное основанию.
• Эта сечение образует меньший конус с той же вершиной, что и большой.
• Нужно найти объем меньшего конуса \( V_{меньшего} \).

Шаг 1: Визуализация задачи и ключевые идеи

• Вырезается сечение, соединяющее вершину конуса и точку на средней высоте.
• Это сечение параллельно основанию, поэтому оно делит конус на два фигуры: меньший конус сверху и остаток снизу.
• В результате получается два конуса: меньший, полностью внутри большого, и большая "оболочка" снизу.

Шаг 2: Свойства сечения, проведенного через середину высоты

• Проводим сечение через середину высоты большого конуса, которая равна \( h \).
• Это сечение делит вершину на две части в одинаковых пропорциях по высоте, потому что оно расположено в середине.

Важно:

• Параллельное сечение делит конус по подобию.
• Радиус сечения на высоте \( h/2 \) равен половине радиуса основания, если пропорции сохраняются.

Шаг 3: Связь между радиусами и высотами

Обозначим:

• Радиус основания большого конуса: \( R \)
• Высота большого конуса: \( H \)

Поскольку сечение происходит на половине высоты (\( H/2 \)), радиус сечения \( r \) можно найти по подобию:

\[ \frac{r}{R} = \frac{h/2}{H} = \frac{1}{2} \Rightarrow r = \frac{R}{2} \]

Следовательно: радиус сечения в середине высоты равен половине радиуса основания.

Шаг 4: Анализ меньшего конуса

Меньший конус образуется вершиной и основанием с радиусом \( r = R/2 \), высота этого меньшего конуса \( h_меньшего \):

\[ h_меньшего = \frac{H}{2} \]

(Потому что сечение делает уровень высоты, равный половине общего; и малый конус имеет такую же пропорцию по радиусу и высоте.)

Шаг 5: Вычисление объемов

Объем конуса:
\[ V = \frac{1}{3} \pi R^2 H \]

Объем большого конуса:
\[ V_{большого} = 120 \]

Малый конус — подобен большому, радиус: \( R/2 \), высота: \( H/2 \).

Объем меньшего конуса:

\[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi r^2 h \]

Подставляем \( r = R/2 \) и \( h = H/2 \):

\[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi \left(\frac{R}{2}\right)^2 \frac{H}{2} = \frac{1}{3} \pi \frac{R^2}{4} \frac{H}{2} \]

Упростим:

\[ V_{меньшего} = \frac{1}{3} \pi R^2 H \times \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \left( \frac{1}{3} \pi R^2 H \right) \times \frac{1}{8} \]

Значит:

\[ V_{меньшего} = V_{большого} \times \frac{1}{8} = 120 \times \frac{1}{8} = 15 \]

Ответ:

Объем меньшего конуса равен \(\boxed{15}\).