найдите точку минимума функции y=108x -x3-19
Рассмотрим функцию:
\[ y = 108x - x^3 - 19 \]
Задача — найти точку минимума этой функции.
Шаг 1. Найти производную функции
Чтобы найти экстремумы функции (минимумы и максимумы), вычислим её производную по \( x \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(108x - x^3 - 19) \]
\[ y' = 108 - 3x^2 \]
Шаг 2. Найти критические точки
Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не определена. В нашей функции производная — многочлен, она определена везде, значит ищем точки, где:
\[ 108 - 3x^2 = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ 3x^2 = 108 \]
\[ x^2 = \frac{108}{3} = 36 \]
\[ x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \]
Критические точки: \(\mathbf{x = 6}\) и \(\mathbf{x = -6}\).
Шаг 3. Определить характер критических точек
Для этого вычислим вторую производную:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(108 - 3x^2) = -6x \]
Подставим критические точки:
- В точке \( x=6 \):
\[ y''(6) = -6 \times 6 = -36 < 0 \]
Это означает, что в точке \( x=6 \) функция имеет локальный максимум.
- В точке \( x=-6 \):
\[ y''(-6) = -6 \times (-6) = 36 > 0 \]
Это означает, что в точке \( x=-6 \) функция имеет локальный минимум.
Шаг 4. Найти значение функции в точке минимума
Подставим \( x = -6 \) в исходное выражение для нахождения минимальной точки:
\[ y(-6) = 108 \times (-6) - (-6)^3 - 19 \]
Вычислим по частям:
- \( 108 \times (-6) = -648 \)
- \( (-6)^3 = -216 \) (поскольку отрицательное число в степени 3 — отрицательное)
- Значит, \(-(-6)^3 = -(-216) = 216\)
Теперь:
\[ y(-6) = -648 + 216 - 19 \]
\[ y(-6) = (-648 + 216) - 19 = -432 - 19 = -451 \]
Итог:
- Точка минимума: \( x = -6 \)
- Значение функции в точке минимума: \( y = -451 \)
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить, — пишите!
