Найдите точку минимума функции y=108x -x3-19

Рассмотрим функцию: \[ y = 108x - x^3 - 19 \] Задача — найти точку минимума этой функции. --- ### Шаг 1. Найти производную функции Чтобы найти экстремумы функции (минимумы и максимумы), вычислим её производную по \( x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(108x - x^3 - 19) \] \[ y' = 108 - 3x^2 \] --- ### Шаг 2. Найти критические точки Критические точки — это точки, где производная равна нулю или не определена. В нашей функции производная — многочлен, она определена везде, значит ищем точки, где: \[ 108 - 3x^2 = 0 \] Решим это уравнение: \[ 3x^2 = 108 \] \[ x^2 = \frac{108}{3} = 36 \] \[ x = \pm \sqrt{36} = \pm 6 \] Критические точки: \(\mathbf{x = 6}\) и \(\mathbf{x = -6}\). --- ### Шаг 3. Определить характер критических точек Для этого вычислим вторую производную: \[ y'' = \frac{d}{dx}(y') = \frac{d}{dx}(108 - 3x^2) = -6x \] Подставим критические точки: - В точке \( x=6 \): \[ y''(6) = -6 \times 6 = -36 < 0 \] Это означает, что в точке \( x=6 \) функция имеет **локальный максимум**. - В точке \( x=-6 \): \[ y''(-6) = -6 \times (-6) = 36 > 0 \] Это означает, что в точке \( x=-6 \) функция имеет **локальный минимум**. --- ### Шаг 4. Найти значение функции в точке минимума Подставим \( x = -6 \) в исходное выражение для нахождения минимальной точки: \[ y(-6) = 108 \times (-6) - (-6)^3 - 19 \] Вычислим по частям: - \( 108 \times (-6) = -648 \) - \( (-6)^3 = -216 \) (поскольку отрицательное число в степени 3 — отрицательное) - Значит, \(-(-6)^3 = -(-216) = 216\) Теперь: \[ y(-6) = -648 + 216 - 19 \] \[ y(-6) = (-648 + 216) - 19 = -432 - 19 = -451 \] --- ### Итог: - **Точка минимума:** \( x = -6 \) - **Значение функции в точке минимума:** \( y = -451 \) --- Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить, — пишите!