найдите максимум функции y=23-64x x³/3

Конечно! Давайте подробно разберем задачу — найдём максимум функции \( y = 23 - 64x + \frac{x^3}{3} \).

Шаг 1: Запись функции

Обратим внимание, что функция выглядит так: \[ y = 23 - 64x + \frac{x^3}{3}. \]

Или в более читаемом виде: \[ y(x) = 23 - 64x + \frac{x^3}{3}. \]

Шаг 2: Найти первую производную функции \( y'(x) \)

Для поиска экстремума (минимума или максимума), нужно найти точки, в которых производная равна нулю: \[ y'(x) = \frac{d}{dx} \left( 23 - 64x + \frac{x^3}{3} \right). \]

Производная каждого члена:

• производная константы 23 равна 0,
• производная \(-64x\) равна \(-64\),
• производная \(\frac{x^3}{3}\) равна \(\frac{3x^2}{3} = x^2\).

Итого: \[ y'(x) = -64 + x^2. \]

Шаг 3: Найти точки экстремума

Приравняем первую производную к нулю: \[ y'(x) = 0 \Rightarrow -64 + x^2 = 0. \]

Отсюда: \[ x^2 = 64, \] \[ x = \pm 8. \]

Итак, точки потенциальных экстремумов: \( x = 8 \) и \( x = -8 \).

Шаг 4: Определить тип экстремума

Для этого возьмём вторую производную \( y''(x) \): \[ y''(x) = \frac{d}{dx} (x^2 - 64) = 2x. \]

Теперь определим знак \( y''(x) \) в точках \( x=8 \) и \( x=-8 \):

• В точке \( x=8 \): \[ y''(8) = 2 \times 8 = 16 > 0, \] значит, в этой точке — локальный минимум.

• В точке \( x=-8 \): \[ y''(-8) = 2 \times (-8) = -16 < 0, \] значит, в этой точке — локальный максимум.

Шаг 5: Найти значения функции в точках экстремума

Подставим найденные значения \( x \) в исходную функцию:

• Для \( x=8 \): \[ y(8) = 23 - 64 \times 8 + \frac{8^3}{3} = 23 - 512 + \frac{512}{3}. \]

Вычисляем: \[ -512 + \frac{512}{3} = -\frac{1536}{3} + \frac{512}{3} = -\frac{1024}{3}. \]

Добавляем 23 (приведем к дроби с denom3): \[ 23 = \frac{69}{3}. \]

Итог: \[ y(8) = \frac{69}{3} - \frac{1024}{3} = -\frac{955}{3} \approx -318.33. \]

• Для \( x=-8 \): \[ y(-8) = 23 - 64 \times (-8) + \frac{(-8)^3}{3} = 23 + 512 + \frac{-512}{3}. \]

Вычислим: \[ 23 + 512 = 535, \] \[ \frac{-512}{3}. \]

Запишем сумму: \[ y(-8) = 535 - \frac{512}{3} = \frac{1605}{3} - \frac{512}{3} = \frac{1605 - 512}{3} = \frac{1093}{3} \approx 364.33. \]

Итог:

• В точке \( x=8 \) — локальный минимум, значение функции \(\approx -318.33 \).
• В точке \( x=-8 \) — локальный максимум, значение функции \(\approx 364.33 \).

Ответ:

Максимальное значение функции \( y \) — примерно \(\boxed{364.33}\) и достигается при \( x = -8 \).

Если нужны дополнительные разъяснения — скажите!