В учебной группе 34 участника, 19 19 из которых — мужчины. Определи, сколькими вариантами можно выделить мини-группу из четырёх участников, двое из которых будут мужчинами. Запиши…

Давайте подробно разберем задачу и найдём количество вариантов формирования такой мини-группы.

Исходные данные:

• Общее число участников: 34
• Мужчин: 19
• Женщин: 34 - 19 = 15
• Размер группы: 4 человека
• В группе должно быть: 2 мужчины и 2 женщины

Шаг 1: Выбор мужчин

Из 19 мужчин нужно выбрать 2.
Количество способов выбрать 2 мужчин из 19 определяется по формуле сочетаний:

\[ C_{19}^{2} = \frac{19!}{2!(19-2)!} \]

\[ C_{19}^{2} = \frac{19 \times 18}{2 \times 1} = \frac{342}{2} = 171 \]

Шаг 2: Выбор женщин

Из 15 женщин нужно выбрать 2:

\[ C_{15}^{2} = \frac{15!}{2!(15-2)!} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = \frac{210}{2} = 105 \]

Шаг 3: Объединение вариантов

Так как выбор мужчин и женщин происходит независимо, число всех возможных групп — произведение количества вариантов для мужчин и женщин:

\[ Итого = C_{19}^{2} \times C_{15}^{2} = 171 \times 105 = 17955 \]

Ответ:

\[ \boxed{17955} \]

Это число вариантов, которыми можно сформировать мини-группу из 4 человек, где ровно двое — мужчины, а двое — женщины.