диагональ осевого сечения цилиндра равна √61 см. радиус основания 3 см. найдите высоту цилиндра

Рассмотрим задачу: у нас есть цилиндр с радиусом основания \( r = 3 \) см и диагональю осевого сечения равной \(\sqrt{61}\) см. Требуется найти высоту цилиндра \( h \).

Шаг 1: Что такое осевое сечение цилиндра?

Осевое сечение — это сечение цилиндра, проведённое по оси и боковой поверхности. Оно представляет собой прямую, соединяющую центр основания и верхнего основания.

Шаг 2: Что такое диагональ осевого сечения?

Диагональ осевого сечения — это гипотенуза треугольника, образованного высотой цилиндра \(h\), радиусом основания \(r\) и линией, соединяющей точку на верхней грани с точкой на нижней, которые лежат напротив друг друга.

На практике, диагональ осевого сечения — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого:

• Высота цилиндра \(h\).
• Диаметр основания \(2r\).

Посему, диагональ осевого сечения — это гипотенуза треугольника, у которого катеты:

• Высота \( h \),
• Диаметр основания \( 2r \).

Шаг 3: Построение и решение

По условию:

\[ \text{Диагональ} = \sqrt{61}, \] \[ r = 3 \text{ см}. \]

Длина диагонали \(d\) связана с высотой \(h\) и диаметром \(2r\) через Пифагорова теорему:

\[ d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}. \]

Подставляем значения:

\[ \sqrt{61} = \sqrt{h^2 + (2 \times 3)^2} = \sqrt{h^2 + 6^2} = \sqrt{h^2 + 36}. \]

Шаг 4: Решение уравнения

Квадрируем обе части:

\[ 61 = h^2 + 36, \] \[ h^2 = 61 - 36 = 25, \] \[ h = \pm \sqrt{25} = \pm 5. \]

Высота не может быть отрицательной, значит:

\[ h = 5\, \text{см}. \]

Итог:

Ответ: высота цилиндра — \(\boxed{5\, \text{см}}\).