Рассмотрим задачу: у нас есть цилиндр с радиусом основания ( r = 3 ) см и диагональю осевого сечения равной (\sqrt{61}) см. Требуется найти высоту цилиндра ( h ).
Шаг 1: Что такое осевое сечение цилиндра?
Осевое сечение — это сечение цилиндра, проведённое по оси и боковой поверхности. Оно представляет собой прямую, соединяющую центр основания и верхнего основания.
Шаг 2: Что такое диагональ осевого сечения?
Диагональ осевого сечения — это гипотенуза треугольника, образованного высотой цилиндра (h), радиусом основания (r) и линией, соединяющей точку на верхней грани с точкой на нижней, которые лежат напротив друг друга.
На практике, диагональ осевого сечения — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике, катеты которого:
- Высота цилиндра (h).
- Диаметр основания (2r).
Посему, диагональ осевого сечения — это гипотенуза треугольника, у которого катеты:
- Высота ( h ),
- Диаметр основания ( 2r ).
Шаг 3: Построение и решение
По условию:
[
\text{Диагональ} = \sqrt{61},
]
[
r = 3 \text{ см}.
]
Длина диагонали (d) связана с высотой (h) и диаметром (2r) через Пифагорова теорему:
[
d = \sqrt{h^2 + (2r)^2}.
]
Подставляем значения:
[
\sqrt{61} = \sqrt{h^2 + (2 \times 3)^2} = \sqrt{h^2 + 6^2} = \sqrt{h^2 + 36}.
]
Шаг 4: Решение уравнения
Квадрируем обе части:
[
61 = h^2 + 36,
]
[
h^2 = 61 - 36 = 25,
]
[
h = \pm \sqrt{25} = \pm 5.
]
Высота не может быть отрицательной, значит:
[
h = 5, \text{см}.
]
Итог:
Ответ: высота цилиндра — (\boxed{5, \text{см}}).
