Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 90 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны c = 4200 Дж/(кг⋅°С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.

Рассмотрим задачу по порядку. Обозначим: - \( m_ч \) — масса чая (до добавления воды) - \( m_в \) — масса воды, добавленной в первый раз - \( T_ч \) — начальная температура чая = 100°C - \( T_в \) — температура добавленной воды = 10°C - \( T_{итог} \) — температура после установления теплового равновесия = 90°C - Удельная теплоёмкость одинаковая для чая и воды: \( c = 4200\, \text{Дж/(кг·°С)} \) --- ### Шаг 1. Запишем условие теплового равновесия после первой добавки воды: Общее количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученной водой: \[ Q_ч + Q_в = 0 \] где: \[ Q_ч = m_ч \cdot c \cdot (T_ч - T_{итог}) \] \[ Q_в = m_в \cdot c \cdot (T_{итог} - T_в) \] Так как теплоотдача — это отдача тепла, то: \[ m_ч \cdot c \cdot (T_ч - T_{итог}) = m_в \cdot c \cdot (T_{итог} - T_в) \] Отсюда: \[ m_ч (T_ч - T_{итог}) = m_в (T_{итог} - T_в) \] подставим значения: \[ m_ч (100 - 90) = m_в (90 - 10) \] \[ m_ч \times 10 = m_в \times 80 \] --- ### **1) Найти отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученной водой** Количество теплоты, отданной чаем: \[ Q_ч = m_ч c (T_ч - T_{итог}) \] Количество теплоты, полученной водой: \[ Q_в = m_в c (T_{итог} - T_в) \] Их отношение: \[ \frac{Q_ч}{Q_в} = \frac{m_ч c (T_ч - T_{итог})}{m_в c (T_{итог} - T_в)} = \frac{m_ч (100 - 90)}{m_в (90 - 10)} = \frac{m_ч \times 10}{m_в \times 80} \] Из уравнения теплового равновесия уже получили: \[ m_ч \times 10 = m_в \times 80 \implies \frac{m_ч}{m_в} = \frac{80}{10} = 8 \] Подставим в отношение: \[ \frac{Q_ч}{Q_в} = \frac{m_ч \times 10}{m_в \times 80} = \frac{(8 m_в) \times 10}{m_в \times 80} = \frac{80 m_в}{80 m_в} = 1 \] **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{Q_ч}{Q_в} = 1 } \] Т.е., количество теплоты, отданной чаем, равно количеству теплоты, полученной водой. --- ### **2) Найти отношение массы чая к массе воды** Из ранее полученного равенства: \[ m_ч \times 10 = m_в \times 80 \implies \frac{m_ч}{m_в} = 8 \] **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{m_ч}{m_в} = 8 } \] Масса чая в 8 раз больше массы добавленной воды. --- ### Шаг 2. Добавление второй порции холодной воды и нахождение нового равновесия Маша добавила еще такую же порцию воды, то есть массу новой воды \( m_в \). Обозначим: - После первого равновесия температура чая — \( T_{итог} = 90^\circ C \). - Вновь добавляют воду с температурой 10°C, массу \( m_в \). Изначально масса чая — \( m_ч \), масса воды — \( 2 m_в \). Новое температурное равновесие пусть будет \( T_{нов} \). Общий теплообмен теперь идет между чаем и двумя порциями воды: \[ Q_{итог} = Q_{ч} + Q_{в1} + Q_{в2} \] Но мы можем рассчитать сразу, исходя из теплообмена: - Общая тепловая энергия чая (после первой обработки): \[ Q_{ч} = m_ч c (T_{нач} - T_{итог}) = m_ч c (100 - 90) = m_ч c \times 10 \] - Вода с холодной температуры: Сначала, чтобы найти температуру после первой процедуры, мы уже знаем, что она равна 90°C, и это и есть начальная температура второго обмена. Теперь при добавлении новой порции воды: - Общая масса воды: \[ m_{в\_итог} = 2 m_в \] - Общая теплота воды: \[ Q_{в\_итог} = (m_в + m_в) c (T_{нов} - T_{в}) = 2 m_в c (T_{нов} - 10) \] Условие теплового равновесия (без потерь): \[ \text{Теплота, отдаваемая чаем} = \text{Теплота, полученная водой} \] Теплота, отдаваемая чаем: \[ Q_{ч} = m_ч c (100 - T_{нов}) \] Теплота, полученная водой: \[ Q_{в} = 2 m_в c (T_{нов} - 10) \] Массы связаны соотношением \( m_ч = 8 m_в \), тогда: \[ Q_{ч} = 8 m_в c (100 - T_{нов}), \] и \[ Q_{в} = 2 m_в c (T_{нов} - 10). \] По условию теплового равновесия: \[ Q_{ч} = Q_{в} \] Подставим: \[ 8 m_в c (100 - T_{нов}) = 2 m_в c (T_{нов} - 10) \] Сократим \( m_в c \): \[ 8 (100 - T_{нов}) = 2 (T_{нов} - 10) \] Разделим обе части на 2: \[ 4 (100 - T_{нов}) = T_{нов} - 10 \] Раскроем скобки: \[ 400 - 4 T_{нов} = T_{нов} - 10 \] Перенесем все с \( T_{нов} \) в левую часть: \[ 400 + 10 = T_{нов} + 4 T_{нов} \] \[ 410 = 5 T_{нов} \] Найдем \( T_{нов} \): \[ T_{нов} = \frac{410}{5} = 82^\circ C \] **Ответ:** Когда в чай добавляют еще порцию холодной воды такого же объема, его температура после нового установления теплового равновесия составит **82°C**. --- ## Итоговые ответы: 1. \(\displaystyle \frac{Q_{ч}}{Q_{в}} = 1 \) 2. \(\displaystyle \frac{m_{ч}}{m_{в}} = 8 \) 3. После добавления еще одной порции холодной воды и установления теплового равновесия температура чая станет **82°C**. Если есть вопросы или нужно подробнее — спрашивайте!