Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура…
Для того, чтобы остудить чай, температура которого была 100 °С, Маша добавила в него порцию холодной воды с температурой 10 °С. После установления теплового равновесия температура воды в чашке составила 90 °С. Удельные теплоёмкости чая и воды одинаковы и равны c = 4200 Дж/(кг⋅°С). Потерями теплоты можно пренебречь. 1) Найдите отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученному водой. 2) Найдите отношение массы чая к массе воды. 3) Так как чай всё ещё был слишком горячим, Маша добавила в него ещё одну точно такую же порцию холодной воды. Какой станет температура чая после установления нового теплового равновесия? Напишите полное решение этой задачи.
Рассмотрим задачу по порядку. Обозначим:
- \( m_ч \) — масса чая (до добавления воды)
- \( m_в \) — масса воды, добавленной в первый раз
- \( T_ч \) — начальная температура чая = 100°C
- \( T_в \) — температура добавленной воды = 10°C
- \( T_{итог} \) — температура после установления теплового равновесия = 90°C
- Удельная теплоёмкость одинаковая для чая и воды: \( c = 4200\, \text{Дж/(кг·°С)} \)
Шаг 1. Запишем условие теплового равновесия после первой добавки воды:
Общее количество теплоты, отданное чаем, равно количеству теплоты, полученной водой:
\[ Q_ч + Q_в = 0 \]
где:
\[ Q_ч = m_ч \cdot c \cdot (T_ч - T_{итог}) \] \[ Q_в = m_в \cdot c \cdot (T_{итог} - T_в) \]
Так как теплоотдача — это отдача тепла, то:
\[ m_ч \cdot c \cdot (T_ч - T_{итог}) = m_в \cdot c \cdot (T_{итог} - T_в) \]
Отсюда:
\[ m_ч (T_ч - T_{итог}) = m_в (T_{итог} - T_в) \]
подставим значения:
\[ m_ч (100 - 90) = m_в (90 - 10) \]
\[ m_ч \times 10 = m_в \times 80 \]
1) Найти отношение количества теплоты, отданной чаем, к количеству теплоты, полученной водой
Количество теплоты, отданной чаем:
\[ Q_ч = m_ч c (T_ч - T_{итог}) \]
Количество теплоты, полученной водой:
\[ Q_в = m_в c (T_{итог} - T_в) \]
Их отношение:
\[ \frac{Q_ч}{Q_в} = \frac{m_ч c (T_ч - T_{итог})}{m_в c (T_{итог} - T_в)} = \frac{m_ч (100 - 90)}{m_в (90 - 10)} = \frac{m_ч \times 10}{m_в \times 80} \]
Из уравнения теплового равновесия уже получили:
\[ m_ч \times 10 = m_в \times 80 \implies \frac{m_ч}{m_в} = \frac{80}{10} = 8 \]
Подставим в отношение:
\[ \frac{Q_ч}{Q_в} = \frac{m_ч \times 10}{m_в \times 80} = \frac{(8 m_в) \times 10}{m_в \times 80} = \frac{80 m_в}{80 m_в} = 1 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{Q_ч}{Q_в} = 1 } \]
Т.е., количество теплоты, отданной чаем, равно количеству теплоты, полученной водой.
2) Найти отношение массы чая к массе воды
Из ранее полученного равенства:
\[ m_ч \times 10 = m_в \times 80 \implies \frac{m_ч}{m_в} = 8 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{m_ч}{m_в} = 8 } \]
Масса чая в 8 раз больше массы добавленной воды.
Шаг 2. Добавление второй порции холодной воды и нахождение нового равновесия
Маша добавила еще такую же порцию воды, то есть массу новой воды \( m_в \). Обозначим:
- После первого равновесия температура чая — \( T_{итог} = 90^\circ C \).
- Вновь добавляют воду с температурой 10°C, массу \( m_в \).
Изначально масса чая — \( m_ч \), масса воды — \( 2 m_в \).
Новое температурное равновесие пусть будет \( T_{нов} \).
Общий теплообмен теперь идет между чаем и двумя порциями воды:
\[ Q_{итог} = Q_{ч} + Q_{в1} + Q_{в2} \]
Но мы можем рассчитать сразу, исходя из теплообмена:
- Общая тепловая энергия чая (после первой обработки):
\[ Q_{ч} = m_ч c (T_{нач} - T_{итог}) = m_ч c (100 - 90) = m_ч c \times 10 \]
- Вода с холодной температуры:
Сначала, чтобы найти температуру после первой процедуры, мы уже знаем, что она равна 90°C, и это и есть начальная температура второго обмена.
Теперь при добавлении новой порции воды:
- Общая масса воды:
\[ m_{в\_итог} = 2 m_в \]
- Общая теплота воды:
\[ Q_{в\_итог} = (m_в + m_в) c (T_{нов} - T_{в}) = 2 m_в c (T_{нов} - 10) \]
Условие теплового равновесия (без потерь):
\[ \text{Теплота, отдаваемая чаем} = \text{Теплота, полученная водой} \]
Теплота, отдаваемая чаем:
\[ Q_{ч} = m_ч c (100 - T_{нов}) \]
Теплота, полученная водой:
\[ Q_{в} = 2 m_в c (T_{нов} - 10) \]
Массы связаны соотношением \( m_ч = 8 m_в \), тогда:
\[ Q_{ч} = 8 m_в c (100 - T_{нов}), \]
и
\[ Q_{в} = 2 m_в c (T_{нов} - 10). \]
По условию теплового равновесия:
\[ Q_{ч} = Q_{в} \]
Подставим:
\[ 8 m_в c (100 - T_{нов}) = 2 m_в c (T_{нов} - 10) \]
Сократим \( m_в c \):
\[ 8 (100 - T_{нов}) = 2 (T_{нов} - 10) \]
Разделим обе части на 2:
\[ 4 (100 - T_{нов}) = T_{нов} - 10 \]
Раскроем скобки:
\[ 400 - 4 T_{нов} = T_{нов} - 10 \]
Перенесем все с \( T_{нов} \) в левую часть:
\[ 400 + 10 = T_{нов} + 4 T_{нов} \]
\[ 410 = 5 T_{нов} \]
Найдем \( T_{нов} \):
\[ T_{нов} = \frac{410}{5} = 82^\circ C \]
Ответ:
Когда в чай добавляют еще порцию холодной воды такого же объема, его температура после нового установления теплового равновесия составит 82°C.
Итоговые ответы:
\(\displaystyle \frac{Q_{ч}}{Q_{в}} = 1 \)
\(\displaystyle \frac{m_{ч}}{m_{в}} = 8 \)
После добавления еще одной порции холодной воды и установления теплового равновесия температура чая станет 82°C.
Если есть вопросы или нужно подробнее — спрашивайте!
