в равнобедренной трапеции с основаниям, равными 13 и 31, известен периметр: Р=74. Найди площадь этой ирапеции6
Давайте поэтапно решим задачу о равнобедренной трапеции с известными основаниями и периметром.
Дано:
- Нижнее основание \( AB = 31 \)
- Верхнее основание \( CD = 13 \)
- Периметр \( P = 74 \)
Нам нужно найти площадь трапеции.
Шаг 1: Обозначим неизвестные и подготовим исходные данные
Обозначим боковую сторону трапеции (равные для обоих боковых сторон) как \( l \).
Трапеция ровнобедренная:
- Основания \( AB \) и \( CD \).
- Боковые стороны \( AD \) и \( BC \), равны между собой и равны \( l \).
Шаг 2: Используем периметр
Периметр равен сумме всех сторон:
\[ AB + BC + CD + DA = 74 \]
Подставим известные значения:
\[ 31 + l + 13 + l = 74 \]
Объединим:
\[ (31 + 13) + 2l = 74 \] \[ 44 + 2l = 74 \] \[ 2l = 74 - 44 = 30 \] \[ l = 15 \]
Итак, боковые стороны равны \( l = 15 \).
Шаг 3: Построение и расчет высоты трапеции
Чтобы найти площадь, необходимо найти высоту \( h \).
Обозначим:
- Основания: \( AB = 31 \), \( CD = 13 \),
- боковые стороны: \( l = 15 \).
Проводим высоту \( h \) из точки \( C \) перпендикулярно к основанию \( AB \), опустим перпендикуляр на \( AB \) в точку \( E \).
Поскольку трапеция равнобедренная:
- Проекция \( E \) на основание \( AB \) делит его на две части.
Обозначим длину отрезка \( AE \) как \( x \). Тогда:
\[ BE = AB - AE = 31 - x \]
Поскольку трапеция равнобедренная, высота \( h \), боковая сторона \( l \), и половина разности оснований связаны через прямоугольный треугольник:
\[ h^2 + x^2 = l^2 \]
Поскольку \( E \) — точка, где проведена высота, то:
\[ x = \frac{AB - CD}{2} = \frac{31 - 13}{2} = \frac{18}{2} = 9 \]
(Это обосновано тем, что в равнобедренной трапеции расстояние между центрами оснований делится пополам.)
Теперь можно найти \( h \):
\[ h = \sqrt{l^2 - x^2} = \sqrt{15^2 - 9^2} = \sqrt{225 - 81} = \sqrt{144} = 12 \]
Шаг 4: Вычисление площади
Площадь трапеции задается формулой:
\[ S = \frac{(AB + CD)}{2} \times h \]
Подставляю значения:
\[ S = \frac{31 + 13}{2} \times 12 = \frac{44}{2} \times 12 = 22 \times 12 = 264 \]
Итог:
Площадь трапеции равна \(\boxed{264}\).
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — пишите!
