Какие из следующих утверждений верны? 1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Все диаметры окружности равны между собой. Какие из следующих утверждений верны? 1) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла. 2) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания. 3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. Какое из следующих утверждений верно? 1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей. Какое из следующих утверждений верно? 1) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. 2) Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника. 3) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. Какое из следующих утверждений верно? 1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. Какие из следующих утверждений верны? 1) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 2) Боковые стороны любой трапеции равны. 3) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. Какие из следующих утверждений верны? 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусам. 3) Любые два равносторонних треугольника подобны.

Давайте по порядку разберем каждый набор утверждений и определим, какие из них являются верными. Я буду приводить подробное объяснение каждого вопроса. --- ### Задача 1 **Утверждения:** 1) Существует квадрат, который не является прямоугольником. 2) Если в параллелограмме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм является ромбом. 3) Все диаметры окружности равны между собой. **Разбор:** - **Утверждение 1:** Существует ли такой квадрат, который не является прямоугольником? Нет. По определению, квадрат — это ромб с одним углом равным 90°. Следовательно, квадрат — это именно прямоугольник, поскольку все его углы по 90°. Поэтому вера утверждение **Ложно**. - **Утверждение 2:** Если в параллелограеме две соседние стороны равны, то этот параллелограмм — ромб? В параллелограмме, если две соседние стороны равны, то все стороны равны (больший параллелограмм становится ромбом). Поэтому это утверждение **Верно**. - **Утверждение 3:** Все диаметры окружности равны? Да, все диаметры окружности — это разные отрезки, но все равны между собой, так как все диаметры — это отрезки, проходящие через центр и соединяющие две точки окружности. Следовательно, **Верно**. **Ответ:** Верны утверждения **2** и **3**. --- ### Задача 2 **Утверждения:** 1) В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла. 2) Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точку касания. 3) Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне. **Разбор:** - **Утверждение 1:** В любой прямоугольной трапеции есть два равных угла? Нет, например, в равнобедренной трапеции у оснований углы равны, а у боковых рамно углы не обязательно равны. В прямоугольной трапеции один из двух углов при основании — прямой (90°), а другой — не обязательно. В общем случае это **Ложно**. - **Утверждение 2:** Касательная к окружности параллельна радиусу, проведённому в точке касания? Да, радиус, проведённый в точке касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, касательная перпендикулярна радиусу. В таком случае данное утверждение — **Ложно**, потому что оно утверждает параллельность, а должно быть перпендикулярно. - **Утверждение 3:** Площадь ромба равна произведению его стороны на высоту, проведённую к этой стороне? Да, площадь ромба равна стороне *h*, умноженной на высоту *h*, проведённую к этой стороне. Это верное выражение: \( S = a \times h \), где \(a\) — сторона, \(h\) — высота. **Ответ:** Верное утверждение — **3**. --- ### Задача 3 **Утверждения:** 1) Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра окружности равно радиусу. 2) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований. 3) Площадь параллелограмма равна половине произведения его диагоналей. **Разбор:** - **Утверждение 1:** Расстояние от точки, лежащей на окружности, до центра — радиус? Да, это важно! То есть, любые точки, которые лежат на окружности, находятся на одинаковом расстоянии радиуса от центра. Так что **Верно**. - **Утверждение 2:** Средняя линия трапеции равна сумме оснований? Нет. Средняя линия — это линия, соединяющая середины боковых сторон, и её длина равна полусумме оснований: \( \frac{a + b}{2} \). Следовательно, неверно, что она равна сумме оснований. - **Утверждение 3:** Площадь параллелограмма равна половине произведения диагоналей? Нет, площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту или, через диагонали, её вычисляют по формуле, включающей стороны и угол. Также, площадь по диагоналям равна половине произведения диагоналей, но это не равно площади. Поэтому это **Ложно**. **Ответ:** Верно только **1**. --- ### Задача 4 **Утверждения:** 1) Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. 2) Диагонали любого прямоугольника делят его на четыре равных треугольника. 3) Косинус острого угла прямоугольного треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему к этому углу катету. **Разбор:** - **Утверждение 1:** Средняя линия трапеции — это полусумма оснований? Да, это классический факт: длина средней линии равна \(\frac{a + b}{2}\), где \(a, b\) — основания. **Верно**. - **Утверждение 2:** Диагонали прямоугольника делят его на четыре равных треугольника? Нет. Диагонали пересекаются в точке, делят диагонали пополам, делят прямоугольник на 4 треугольника, но эти треугольники не равны между собой по площади. Эти 4 треугольника — равнобедренные, но не обязательно равные. Постоянно это считать правильным — **Верно**? На самом деле, диагонали делят прямоугольник на 4 равных треугольника только если речь о площади. В широкой интерпретации — да, эти 4 треугольника равны по площади и являются равнобедренными. В большинстве учебных программ — это утверждение считается **Правильным**. - **Утверждение 3:** Косинус острого угла прямого треугольника равен отношению гипотенузы к прилежащему катету? Нет. В прямоугольном треугольнике, косинус острого угла — это отношение прилежащего катета к гипотенузе. Значит, данное утверждение — неверное. **Ответ:** Утверждения **1** и **2** верны. --- ### Задача 5 **Утверждения:** 1) Центр описанной около треугольника окружности всегда лежит внутри этого треугольника. 2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую. 3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам. **Разбор:** - **Утверждение 1:** Центр описанной окружности для треугольника находится внутри, если и только если треугольник — остроугольный? Нет! Центр окружности (описанной) может находиться внутри, на стороне или снаружи, в зависимости от типа треугольника. Для остроугольного — внутри; для прямоугольного — в центре гипотенузы; для тупоугольного — снаружи. Значит, **Ложно**. - **Утверждение 2:** Через любую точку плоскости можно провести только одну прямую? Нет, можно провести бесконечно много прямых через любую точку. Следовательно, — **Ложно**. - **Утверждение 3:** Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам? Да, это свойства ромба — диагонали делятся пополам и перпендикулярны друг другу. **Верно**. **Ответ:** верно только **3**. --- ### Задача 6 **Утверждения:** 1) Сумма углов равнобедренного треугольника равна 180 градусам. 2) Боковые стороны любой трапеции равны. 3) Центры вписанной и описанной окружностей равностороннего треугольника совпадают. **Разбор:** - **Утверждение 1:** Сумма углов треугольника — 180°. Да, это базовая теорема — **Верно**. - **Утверждение 2:** Боковые стороны любой трапеции равны? Нет, только в равнобедренной трапеции. В общей трапеции боковые стороны могут быть разными. — **Ложно**. - **Утверждение 3:** Центры вписанной и описанной окружностей совпадают? Для равностороннего треугольника — да, они совпадают и являются центром треугольника. — **Верно**. **Ответ:** верны утверждения **1** и **3**. --- ### Задача 7 **Утверждения:** 1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны. 2) Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. 3) Любые два равносторонних треугольника подобны. **Разбор:** - **Утверждение 1:** "Если две стороны одного треугольника равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны"? Неверно. Требуется еще или равенство углов или третья сторона, чтобы полностью определить треугольник. Иначе треугольники могут отличаться. — **Ложно**. - **Утверждение 2:** В прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна 90°. Да, так как сумма углов равна 180°, и один — прямой (90°), значит, два остальных — острые и их сумма равна 90°. — **Верно**. - **Утверждение 3:** Любые два равносторонних треугольника подобны? Да, все равносторонние треугольники — подобны друг другу, потому что все углы равны 60°, и соотношение сторон одинаковое. — **Верно**. **Ответ:** верны утверждения **2** и **3**. --- ## Итоговые ответы: - Задача 1: **2, 3** - Задача 2: **3** - Задача 3: **1** - Задача 4: **1, 2** - Задача 5: **3** - Задача 6: **1, 3** - Задача 7: **2, 3** Если нужно, я могу подготовить это в более удобной форме или ответить на дополнительные вопросы!