Реши
Давайте решим данное выражение шаг за шагом.
Задача:
\[
\left(\frac{2}{5} + \frac{4}{5x}\right) : \frac{4 + 2x}{2.5x}
\]
Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок
Внутри скобок у нас сумма двух дробей:
\[ \frac{2}{5} + \frac{4}{5x} \]
Общий знаменатель этих дробей — это произведение 5 и \(x\):
\[ \text{Общий знаменатель} = 5x \]
Перепишем каждую дробь так, чтобы знаменатели совпадали:
\[ \frac{2}{5} = \frac{2x}{5x} \] \[ \frac{4}{5x} = \frac{4}{5x} \]
Теперь складываем:
\[ \frac{2x}{5x} + \frac{4}{5x} = \frac{2x + 4}{5x} \]
- Перепишем весь исходный пример:
\[ \left(\frac{2x + 4}{5x}\right) : \frac{4 + 2x}{2.5x} \]
Шаг 2: Разделение дробей
Деление дроби — это умножение на обратную:
\[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{2.5x}{4 + 2x} \]
Обратите внимание, что есть явный множитель 2.5, он равен \( \frac{5}{2} \):
\[ 2.5 = \frac{5}{2} \]
Значит:
\[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{4 + 2x} \]
Шаг 3: Упростим выражение
Обратим внимание на числитель и знаменатель:
\[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{4 + 2x} \]
Также заметим, что \( 2x + 4 \) и \( 4 + 2x \) — это одинаковое выражение, так как они равны:
\[ 2x + 4 = 2(x + 2) \]
и
\[ 4 + 2x = 2(x + 2) \]
Это значит, что:
\[ \frac{2x + 4}{4 + 2x} = \frac{2(x+2)}{2(x+2)} = 1 \]
Теперь наше выражение было:
\[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{4 + 2x} \]
Заменим дроби их эквивалентами:
\[ = \frac{2(x+2)}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{2(x+2)} \]
Шаг 4: Сокращение
В числителе первой дроби есть \( 2(x+2) \), во второй — \( 2(x+2) \).
В числителе второй дроби — \( \frac{5}{2} x \).
В знаменателе второй дроби — \( 2(x+2) \).
Перемножим числители и знаменатели:
\[ = \frac{2(x+2) \times \frac{5}{2} x}{5x \times 2(x+2)} \]
Заметим, что и в числителе, и в знаменателе есть множители \( 2(x+2) \), они сократятся:
\[ = \frac{\cancel{2(x+2)} \times \frac{5}{2} x}{5x \times \cancel{2(x+2)}} \]
Остается:
\[ = \frac{\frac{5}{2} x}{5x} \]
Шаг 5: Последние сокращения
В числителе — \( \frac{5}{2} x \), в знаменателе — \( 5x \).
Можно записать:
\[ = \frac{\frac{5}{2} x}{5x} \]
Это равно:
\[ = \frac{5/2 \times x}{5 \times x} \]
Теперь сократим \( x \):
\[ = \frac{(5/2)}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \]
Деление дробей:
\[ = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \]
Перемножим:
\[ = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \]
или проще,
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \]
Обратим и перемножим:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5/1} \]
Решение:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5/1} \]
Общий знаменатель — 5:
\[ = \frac{(5/2)}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{(5/2)}{5/1} \]
Проще — сразу:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2}{5/1} \]
Делим 5/2 на 5:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{(5/2)}{5} \]
Это:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{(5/2)}{5} = \frac{(5/2)}{5} \]
= \( \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \)
Чтобы разделить \( \frac{5}{2} \) на 5, умножим на обратное:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5/1} \]
Это равносильно:
\[ = \frac{5/2 \times 1}{5/1} = \frac{5/2 \times 1 \times 1}{5/1} = \frac{5/2}{5} \]
Итак, окончательное упрощение:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} \]
Деление:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} \]
и это равно:
\[ = \frac{5/2}{5} = \frac{(5/2)}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{(5/2)}{5} \]
Ответ:
\[
\boxed{\frac{1}{2}}
\]
Если нужно, я могу подготовить более короткое итоговое объяснение.
