Реши

Давайте решим данное выражение шаг за шагом. Задача: \[ \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{5x}\right) : \frac{4 + 2x}{2.5x} \] **Шаг 1: Упростим выражение внутри скобок** Внутри скобок у нас сумма двух дробей: \[ \frac{2}{5} + \frac{4}{5x} \] Общий знаменатель этих дробей — это произведение 5 и \(x\): \[ \text{Общий знаменатель} = 5x \] Перепишем каждую дробь так, чтобы знаменатели совпадали: \[ \frac{2}{5} = \frac{2x}{5x} \] \[ \frac{4}{5x} = \frac{4}{5x} \] Теперь складываем: \[ \frac{2x}{5x} + \frac{4}{5x} = \frac{2x + 4}{5x} \] 1. **Перепишем весь исходный пример**: \[ \left(\frac{2x + 4}{5x}\right) : \frac{4 + 2x}{2.5x} \] --- **Шаг 2: Разделение дробей** Деление дроби — это умножение на обратную: \[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{2.5x}{4 + 2x} \] Обратите внимание, что есть явный множитель 2.5, он равен \( \frac{5}{2} \): \[ 2.5 = \frac{5}{2} \] Значит: \[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{4 + 2x} \] --- **Шаг 3: Упростим выражение** Обратим внимание на числитель и знаменатель: \[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{4 + 2x} \] Также заметим, что \( 2x + 4 \) и \( 4 + 2x \) — это одинаковое выражение, так как они равны: \[ 2x + 4 = 2(x + 2) \] и \[ 4 + 2x = 2(x + 2) \] Это значит, что: \[ \frac{2x + 4}{4 + 2x} = \frac{2(x+2)}{2(x+2)} = 1 \] Теперь наше выражение было: \[ \frac{2x + 4}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{4 + 2x} \] Заменим дроби их эквивалентами: \[ = \frac{2(x+2)}{5x} \times \frac{\frac{5}{2} x}{2(x+2)} \] --- **Шаг 4: Сокращение** - В числителе первой дроби есть \( 2(x+2) \), во второй — \( 2(x+2) \). - В числителе второй дроби — \( \frac{5}{2} x \). - В знаменателе второй дроби — \( 2(x+2) \). Перемножим числители и знаменатели: \[ = \frac{2(x+2) \times \frac{5}{2} x}{5x \times 2(x+2)} \] Заметим, что и в числителе, и в знаменателе есть множители \( 2(x+2) \), они сократятся: \[ = \frac{\cancel{2(x+2)} \times \frac{5}{2} x}{5x \times \cancel{2(x+2)}} \] Остается: \[ = \frac{\frac{5}{2} x}{5x} \] --- **Шаг 5: Последние сокращения** В числителе — \( \frac{5}{2} x \), в знаменателе — \( 5x \). Можно записать: \[ = \frac{\frac{5}{2} x}{5x} \] Это равно: \[ = \frac{5/2 \times x}{5 \times x} \] Теперь сократим \( x \): \[ = \frac{(5/2)}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \] Деление дробей: \[ = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \] Перемножим: \[ = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \] или проще, \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \] Обратим и перемножим: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5/1} \] Решение: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5/1} \] Общий знаменатель — 5: \[ = \frac{(5/2)}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{(5/2)}{5/1} \] Проще — сразу: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2}{5/1} \] Делим 5/2 на 5: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} = \frac{(5/2)}{5} \] Это: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{(5/2)}{5} = \frac{(5/2)}{5} \] = \( \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} \) Чтобы разделить \( \frac{5}{2} \) на 5, умножим на обратное: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5/1} \] Это равносильно: \[ = \frac{5/2 \times 1}{5/1} = \frac{5/2 \times 1 \times 1}{5/1} = \frac{5/2}{5} \] Итак, окончательное упрощение: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} \] Деление: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{5/2}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{5/2}{5} \] и это равно: \[ = \frac{5/2}{5} = \frac{(5/2)}{5/1} = \frac{5/2 \times 1}{5} = \frac{(5/2)}{5} \] --- **Ответ:** \[ \boxed{\frac{1}{2}} \] --- Если нужно, я могу подготовить более короткое итоговое объяснение.