Sin2x+5cosx=0 (10n/3;4n]

Здравствуйте! Давайте разберем уравнение: \[ \sin 2x + 5 \cos x = 0 \] и решим его пошагово. Также в условии указан промежуток — \(\frac{10n}{3} < x \le 4n\). --- ### Шаг 1: Использование тригонометрической формулы Обратим внимание, что в уравнении есть \(\sin 2x\). Известна формула: \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \] Подставим её в исходное уравнение: \[ 2 \sin x \cos x + 5 \cos x = 0 \] --- ### Шаг 2: Вынесение общего множителя Общий множитель — \(\cos x\): \[ \cos x (2 \sin x + 5) = 0 \] Это произведение равняется нулю, когда хотя бы один множитель равен нулю: - \(\cos x = 0\) - или \(2 \sin x + 5 = 0\) --- ### Шаг 3: Решение по каждому случаю **Случай 1: \(\cos x = 0\)** Косинус равен нулю в точках: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} \] **Случай 2: \(2 \sin x + 5 = 0\)** Решим относительно \(\sin x\): \[ 2 \sin x = -5 \implies \sin x = -\frac{5}{2} \] Но значение \(\sin x\) не может быть меньше -1 или больше 1, поскольку \(\sin x\) — это значение в области \([-1,1]\). Следовательно, это решение **не имеет смысла** — оно не существует. --- ### Итоговое решение: \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z} } \] --- ### Шаг 4: Учет промежутка Нам нужно найти все решения среди тех, что лежат в промежутке: \[ \frac{10n}{3} < x \le 4n \] где \(n\) — целое число. --- ### Шаг 5: Подставим найденные решения и найдем подходящие \(k\) Рубликуем решение: \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k \] Нам нужно найти все \(k\), такие что: \[ \frac{10n}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k \le 4n \] Перепишем неравенство: \[ \frac{10n}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k \le 4n \] ### Шаг 6: Решение неравенств по \(k\) **Для нижней границы:** \[ \frac{10n}{3} < \frac{\pi}{2} + \pi k \] \[ \pi k > \frac{10n}{3} - \frac{\pi}{2} \] \[ k > \frac{1}{\pi} \left( \frac{10n}{3} - \frac{\pi}{2} \right) \] **Для верхней границы:** \[ \frac{\pi}{2} + \pi k \leq 4n \] \[ \pi k \leq 4n - \frac{\pi}{2} \] \[ k \leq \frac{1}{\pi} \left( 4n - \frac{\pi}{2} \right) \] --- ### Итог: множество целых \(k\) Общая формула для \(k\): \[ \boxed{ \left\lceil \frac{1}{\pi} \left( \frac{10n}{3} - \frac{\pi}{2} \right) \right\rceil \leq k \leq \left\lfloor \frac{1}{\pi} \left( 4n - \frac{\pi}{2} \right) \right\rfloor } \] где \(\lceil \cdot \rceil\) — округление в большую сторону, а \(\lfloor \cdot \rfloor\) — в меньшую. --- ### Итоговые решения Для каждого целого \(n\) на промежутке \(\left(\frac{10n}{3}; 4n\right]\): \[ x = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad \text{где } k \text{ — целое число в диапазоне выше} \] Если нужно, я могу помочь с конкретными значениями \(n\).