sin7x+sin3x=2sin5x (0;n/2]
Давайте решим уравнение:
\[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin 5x, \quad x \in (0; \pi/2]. \]
Шаг 1. Используем тригонометрические формулы для суммы синусов
Общая формула:
\[ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. \]
Применяем её к левому члену:
\[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \cos \frac{7x - 3x}{2} = 2 \sin 5x \cos 2x. \]
Теперь уравнение принимает вид:
\[ 2 \sin 5x \cos 2x = 2 \sin 5x. \]
Шаг 2. Делим обе части на 2
\[ \sin 5x \cos 2x = \sin 5x. \]
Шаг 3. Раскладываем уравнение
Это равносильно:
\[ \sin 5x \cos 2x - \sin 5x = 0, \] или
\[ \sin 5x (\cos 2x - 1) = 0. \]
Шаг 4. Решение уравнения произведения
Это равносильно двум возможным случаям:
- \(\sin 5x = 0\);
- \(\cos 2x - 1 = 0\).
Рассмотрим первый случай:
1. \(\sin 5x = 0\).
Синус равен нулю в точках:
\[ 5x = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
На промежутке \(x \in (0; \pi/2]\):
\[ x = \frac{k \pi}{5}. \]
Чтобы \(x > 0\):
- при \(k=1\), \(x = \frac{\pi}{5}\);
- при \(k=2\), \(x = \frac{2\pi}{5}\);
- при \(k=3\), \(x= \frac{3\pi}{5}\). Но \(\frac{3\pi}{5} \approx 1.884 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708\), значит не входит в интервал.
Следовательно, допустимые решения:
\[ x = \frac{\pi}{5} \quad \text{и} \quad x= \frac{2\pi}{5}. \]
Рассмотрим второй случай:
2. \(\cos 2x - 1 = 0\).
Значит:
\[ \cos 2x = 1. \]
Косинус равен 1 в точках:
\[ 2x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Из этого:
\[ x = k \pi. \]
На интервале \( (0; \pi/2] \):
- Для \(k=0\), \(x=0\), но это не входит, так как интервал — открыт слева: \( (0; \pi/2] \).
- Для \(k=1\), \(x=\pi\), что не входит в интервал.
Следовательно, решений по этому случаю нет.
Итоговые решения:
\[ \boxed{ x = \frac{\pi}{5} \quad \text{и} \quad x= \frac{2\pi}{5} } \]
в интервале \((0; \pi/2]\).
Если нужно, могу помочь проверить каждое решение, подставив обратно в исходное уравнение, или дать пояснение по интервалу.
