Sin7x+sin3x=2sin5x (0;n/2]

Давайте решим уравнение: \[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin 5x, \quad x \in (0; \pi/2]. \] ### Шаг 1. Используем тригонометрические формулы для суммы синусов Общая формула: \[ \sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}. \] Применяем её к левому члену: \[ \sin 7x + \sin 3x = 2 \sin \frac{7x + 3x}{2} \cos \frac{7x - 3x}{2} = 2 \sin 5x \cos 2x. \] Теперь уравнение принимает вид: \[ 2 \sin 5x \cos 2x = 2 \sin 5x. \] ### Шаг 2. Делим обе части на 2 \[ \sin 5x \cos 2x = \sin 5x. \] ### Шаг 3. Раскладываем уравнение Это равносильно: \[ \sin 5x \cos 2x - \sin 5x = 0, \] или \[ \sin 5x (\cos 2x - 1) = 0. \] ### Шаг 4. Решение уравнения произведения Это равносильно двум возможным случаям: 1. \(\sin 5x = 0\); 2. \(\cos 2x - 1 = 0\). --- ## Рассмотрим первый случай: **1. \(\sin 5x = 0\).** Синус равен нулю в точках: \[ 5x = k \pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] На промежутке \(x \in (0; \pi/2]\): \[ x = \frac{k \pi}{5}. \] Чтобы \(x > 0\): - при \(k=1\), \(x = \frac{\pi}{5}\); - при \(k=2\), \(x = \frac{2\pi}{5}\); - при \(k=3\), \(x= \frac{3\pi}{5}\). Но \(\frac{3\pi}{5} \approx 1.884 > \frac{\pi}{2} \approx 1.5708\), значит не входит в интервал. Следовательно, допустимые решения: \[ x = \frac{\pi}{5} \quad \text{и} \quad x= \frac{2\pi}{5}. \] --- ## Рассмотрим второй случай: **2. \(\cos 2x - 1 = 0\).** Значит: \[ \cos 2x = 1. \] Косинус равен 1 в точках: \[ 2x = 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \] Из этого: \[ x = k \pi. \] На интервале \( (0; \pi/2] \): - Для \(k=0\), \(x=0\), но это не входит, так как интервал — открыт слева: \( (0; \pi/2] \). - Для \(k=1\), \(x=\pi\), что не входит в интервал. Следовательно, решений по этому случаю нет. --- ## Итоговые решения: \[ \boxed{ x = \frac{\pi}{5} \quad \text{и} \quad x= \frac{2\pi}{5} } \] в интервале \((0; \pi/2]\). --- Если нужно, могу помочь проверить каждое решение, подставив обратно в исходное уравнение, или дать пояснение по интервалу.