Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- Емкость конденсатора ( C = 20, \text{пФ} = 20 \times 10^{-12}, \text{Ф} )
- Площадь пластин ( S = 45, \text{см}^2 )
- Диэлектрическая проницаемость масла ( \varepsilon_{r} = 2,5 )
- Электрическая постоянная ( \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}, \text{Ф/м} )
Найти: расстояние ( d ) между пластинами (в мм).
Шаг 1. Формула емкости плоского конденсатора с диэлектриком
Для плоского конденсатора, заполненного диэлектриком, емкость задается формулой:
[
C = \varepsilon_{r} \varepsilon_0 \frac{S}{d}
]
Отсюда выражаем ( d ):
[
d = \varepsilon_{r} \varepsilon_0 \frac{S}{C}
]
Шаг 2. Переводим все данные в последовательные единицы
[
S = 45, \text{см}^2 = 45 \times (0,01, \text{м})^2 = 45 \times 10^{-4}, \text{м}^2 = 4,5 \times 10^{-3}, \text{м}^2
]
[
C = 20 \times 10^{-12}, \text{Ф}
]
[
\varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}, \text{Ф/м}
]
Шаг 3. Подставляем в формулу для ( d ):
[
d = \frac{\varepsilon_{r} \varepsilon_0 S}{C}
]
Подставляя значения:
[
d = \frac{2,5 \times 8,85 \times 10^{-12} \times 4,5 \times 10^{-3}}{20 \times 10^{-12}}
]
Шаг 4. Производим вычисление числителя
[
2,5 \times 8,85 \times 10^{-12} \approx 2,5 \times 8,85 = 22,125 \times 10^{-12}
]
Теперь умножим на ( 4,5 \times 10^{-3} ):
[
22,125 \times 10^{-12} \times 4,5 \times 10^{-3} = 22,125 \times 4,5 \times 10^{-12} \times 10^{-3}
]
[
= (22,125 \times 4,5) \times 10^{-15}
]
Рассчитаем 22,125 (\times) 4,5:
[
22,125 \times 4,5 = 99,5625
]
Итого числитель:
[
99,5625 \times 10^{-15}
]
Шаг 5. Делим на ( C = 20 \times 10^{-12} )
[
d = \frac{99,5625 \times 10^{-15}}{20 \times 10^{-12}} = \frac{99,5625}{20} \times \frac{10^{-15}}{10^{-12}}
]
[
= 4,978125 \times 10^{-3}
]
Потому что:
[
\frac{10^{-15}}{10^{-12}} = 10^{-3}
]
Ответ в метрах:
[
d \approx 4,98 \times 10^{-3}, \text{м}
]
Переведём в миллиметры:
[
d \approx 4,98, \text{мм}
]
округляем до целых — 5 мм.
Итог:
Расстояние между пластинами равно примерно 5 мм.
