9 класс геометрия Хорда окружности равна a и стягивает дугу в 60° .Найдите а)длину дуги б)площадь сектора,ограниченного этой дугой и двумя радиусами
Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Хорда окружности равна \( a \)
- Дугу, ограниченную этой хордой, равна \( 60^\circ \) (угол дуги)
Требуется:
a) найти длину дуги
б) найти площадь сектора, ограниченного этой дугой и двумя радиусами
Шаг 1. Обозначения и вспомогательные формулы
Обозначим:
- радиус окружности: \( R \)
- длина хорды: \( a \)
- центральный угол, соответствующий дуге: \( \theta = 60^\circ \)
Формулы:
Длина дуги: \[ L = R \cdot \theta \quad (\text{в радианах}) \]
Длина хорды: \[ a = 2 R \sin{\frac{\theta}{2}} \]
Площадь сектора: \[ S = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{\theta}{2} R^2 \] или в градусах: \[ S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2 \]
Шаг 2. Перевод угла в радианы
Так как формулы для длины дуги и площади сектора используют радианы, переведем \( 60^\circ \) в радианы:
\[ \theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ радиан} \]
Шаг 3. Найдение радиуса \( R \)
Используя формулу для хорды: \[ a = 2 R \sin{\frac{\theta}{2}} \]
Подставим \( \theta = \frac{\pi}{3} \): \[ a = 2 R \sin{\frac{\pi}{6}} \]
Известно, что: \[ \sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2} \]
Тогда: \[ a = 2 R \cdot \frac{1}{2} = R \]
Ответ:
\[ \boxed{ R = a } \]
Значит, радиус окружности равен длине хорды.
Шаг 4. Поиск длины дуги \( L \)
Используем формулу для длины дуги: \[ L = R \cdot \theta \]
Подставляем: \[ L = a \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi a}{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Длина дуги} = \frac{\pi a}{3} } \]
Шаг 5. Площадь сектора \( S \)
Формула площади сектора (в радианах): \[ S = \frac{\theta}{2} R^2 \]
Подставляем \( R = a \) и \( \(\theta = \frac{\pi}{3} \): \[ S = \frac{\pi/3}{2} \cdot a^2 = \frac{\pi}{6} a^2 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь сектора} = \frac{\pi}{6} a^2 } \]
Итоговые решения:
а) Длина дуги: \(\displaystyle \frac{\pi a}{3}\)
б) Площадь сектора: \(\displaystyle \frac{\pi}{6} a^2\)
Если есть вопросы или нужно подробнее — спрашивайте!
