Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- Хорда окружности равна ( a )
- Дугу, ограниченную этой хордой, равна ( 60^\circ ) (угол дуги)
Требуется:
a) найти длину дуги
б) найти площадь сектора, ограниченного этой дугой и двумя радиусами
Шаг 1. Обозначения и вспомогательные формулы
Обозначим:
- радиус окружности: ( R )
- длина хорды: ( a )
- центральный угол, соответствующий дуге: ( \theta = 60^\circ )
Формулы:
Длина дуги:
[
L = R \cdot \theta \quad (\text{в радианах})
]
Длина хорды:
[
a = 2 R \sin{\frac{\theta}{2}}
]
Площадь сектора:
[
S = \frac{\theta}{2\pi} \cdot \pi R^2 = \frac{\theta}{2} R^2
]
или в градусах:
[
S = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2
]
Шаг 2. Перевод угла в радианы
Так как формулы для длины дуги и площади сектора используют радианы, переведем ( 60^\circ ) в радианы:
[
\theta = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ радиан}
]
Шаг 3. Найдение радиуса ( R )
Используя формулу для хорды:
[
a = 2 R \sin{\frac{\theta}{2}}
]
Подставим ( \theta = \frac{\pi}{3} ):
[
a = 2 R \sin{\frac{\pi}{6}}
]
Известно, что:
[
\sin{\frac{\pi}{6}} = \frac{1}{2}
]
Тогда:
[
a = 2 R \cdot \frac{1}{2} = R
]
Ответ:
[
\boxed{
R = a
}
]
Значит, радиус окружности равен длине хорды.
Шаг 4. Поиск длины дуги ( L )
Используем формулу для длины дуги:
[
L = R \cdot \theta
]
Подставляем:
[
L = a \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi a}{3}
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Длина дуги} = \frac{\pi a}{3}
}
]
Шаг 5. Площадь сектора ( S )
Формула площади сектора (в радианах):
[
S = \frac{\theta}{2} R^2
]
Подставляем ( R = a ) и ( (\theta = \frac{\pi}{3} ):
[
S = \frac{\pi/3}{2} \cdot a^2 = \frac{\pi}{6} a^2
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Площадь сектора} = \frac{\pi}{6} a^2
}
]
Итоговые решения:
а) Длина дуги: (\displaystyle \frac{\pi a}{3})
б) Площадь сектора: (\displaystyle \frac{\pi}{6} a^2)
Если есть вопросы или нужно подробнее — спрашивайте!
