Докажите, что если хорды окружности равны удалены от её центра, то они равны

Давайте рассмотрим задачу: "Доказать, что если хорды окружности равны и удалены от её центра на одинаковое расстояние, то эти хорды равны." Постараюсь объяснить подробно и понятно. ### Условие задачи: - Есть две хорды окружности, которые называем их \(AB\) и \(CD\). - Эти хорды равны: \(AB = CD\). - Одна и та же точка — центр окружности \(O\) — равноудалена от этих хорден, то есть расстояние от центра до каждой из них одинаковое: \(OA = OC\). Нужно доказать: хорды \(AB\) и \(CD\) равны. На самом деле, по условию, мягко говоря, это очевидно, поскольку и длина, и эта точка — одна и та же (удаленность от центра). ### Важные факты: - В окружности хорды, которая удалена от центра на одинаковое расстояние, имеет одинаковую длину. - То есть, если хорды находятся на одинаковом расстоянии от центра, то они равны между собой. ### Доказательство: 1. **Пусть у нас есть окружность с центром \(O\).** 2. Допустим, есть две хорды: \(AB\) и \(CD\). 3. Пусть эти хорды удалены от центра на один и тот же перпендикуляр, то есть \(d = \text{длина перпендикуляра } OX \text{ до } AB \) и \(d = \text{длина перпендикуляра } OY \text{ до } CD \), при этом \(d\) одинаковая. 4. Известно, что в окружности длина хорды равна \(2 \sqrt{R^2 - d^2}\), где \(R\) — радиус окружности, а \(d\) — расстояние от центра до хорды. 5. Пусть радиус окружности \(R\). Тогда \[ \text{длина хорды} = 2 \sqrt{R^2 - d^2} \] 6. Так как для обеих хордах \(AB\) и \(CD\) расстояние от центра до них одинаковое (\(d\)), и радиус окружности \(R\) — постоянная величина, то: \[ AB = 2 \sqrt{R^2 - d^2} = CD \] 7. Следовательно, **длины хордов равны**: \(AB = CD\). ### Итог: - **Если хорды равны и удалены от центра на одинаковое расстояние, то они действительно равны по длине.** ### Важно: - В условии можно было бы указать, что хорды равны, потому что они находятся на одинаковом расстоянии от центра, при этом радиус и расстояние до каждой хорды связаны формулой, которая показывает их равенство. Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!