3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC, равной 12 см проведена высота BD. Найдите CD, DA если A = 30 градусов.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Дадим исходные данные:** - В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза AC = 12 см. - BD — высота, проведённая из вершины B на гипотенузу AC. - Угол A равен 30°. - Нужно найти отрезки CD и DA. --- ### Шаг 1. Определим расположение элементов Обозначим треугольник так: - A, B, C — вершины - Гипотенуза — AC, противоположная прямому углу - В прямоугольном треугольнике ABC, угол A = 30°, следовательно, угол C = 90°, угол B = 180° - 90° - 30° = 60°. Обозначим: - А — вершина угла 30° - К — вершина угла 90° - B — вершина угла 60° Итак, у нас есть прямоугольник ABC с углами: - A = 30° - C = 90° - B = 60° --- ### Шаг 2. Найдём стороны по известной гипотенеузе В прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60°, стороны связаны со гипотенузой так: - Гипотенуза = 12 см - Против угла 30°: катет равен половине гипотенузы, т.е. \( AB = 6 \) см - Против угла 60°: катет равен гипотенузе умноженной на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), т.е. \( BC = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см --- ### Шаг 3. Расположим треугольник на координатной плоскости - Пусть точка C — в начале координат: \( C(0, 0) \). - Точка A — на горизонтали вправо: \( A(12, 0) \), так как гипотенуза AC — горизонтальна. Графически: - Высота BD проведена из B на гипотенузу AC. - Найдём координаты B, чтобы знать, где она находится. Используем координаты B, исходя из того: - Базовые сведения: стороны AB и BC, и расположение на плоскости. --- ### Шаг 4. Найдём координаты точек A, B, C - \( C = (0, 0) \) - \( A = (12, 0) \) Нужно найти \( B \): Из данных: - \( AB = 6 \) - \( BC = 6\sqrt{3} \) Пусть \( B = (x, y) \). Тогда: - \( AB = \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} = 6 \) - \( BC = \sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{3} \) Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - 12)^2 + y^2 = 36 \\ x^2 + y^2 = 36 \times 3 = 108 \end{cases} \] Вычитая из второго уравнения первое, получим: \[ x^2 + y^2 - [(x - 12)^2 + y^2] = 108 - 36 \] \[ x^2 - (x^2 - 24x + 144) = 72 \] \[ x^2 - x^2 + 24x - 144 = 72 \] \[ 24x = 216 \] \[ x = 9 \] Подставим \( x = 9 \) в одно из уравнений, например, во второе: \[ 9^2 + y^2 = 108 \] \[ 81 + y^2 = 108 \] \[ y^2 = 27 \] \[ y = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} \] Рассмотрим положительный вариант (вертикаль вверх), тогда: \[ B = (9, 3\sqrt{3}) \] --- ### Шаг 5. Определение точки D — точка на гипотенузе AC, где проведена высота BD Высота BD — перпендикуляр, опущенный из B на гипотенузу AC. - \( A = (12, 0) \) - \( C = (0, 0) \) Гипотенуза AC — горизонтальна, уравнение: \( y = 0 \). Чтобы найти точку D — проекцию B на AC: - Проекция — это точка на AC, которая образует правый угол с B. - Так как \( AC \) горизонтальна, перпендикуляр из \( B(9, 3\sqrt{3}) \) — вертикальный, следовательно: \[ D = (9, 0) \] --- ### Шаг 6. Находим длины DA и CD - \( D = (9, 0) \) - \( A = (12, 0) \) - \( C = (0, 0) \) Теперь считаем: \[ DA = |x_A - x_D| = |12 - 9| = 3 \text{ см} \] \[ CD = |x_D - x_C| = |9 - 0| = 9 \text{ см} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Длина } DA = 3\, \text{см} \\ \text{Длина } CD = 9\, \text{см} } \] --- Если хотите, я могу пояснить любой из этапов подробнее!