3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC, равной 12 см проведена высота BD. Найдите CD, DA если A = 30 градусов.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дадим исходные данные:
- В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза AC = 12 см.
- BD — высота, проведённая из вершины B на гипотенузу AC.
- Угол A равен 30°.
- Нужно найти отрезки CD и DA.
Шаг 1. Определим расположение элементов
Обозначим треугольник так:
- A, B, C — вершины
- Гипотенуза — AC, противоположная прямому углу
- В прямоугольном треугольнике ABC, угол A = 30°, следовательно, угол C = 90°, угол B = 180° - 90° - 30° = 60°.
Обозначим:
- А — вершина угла 30°
- К — вершина угла 90°
- B — вершина угла 60°
Итак, у нас есть прямоугольник ABC с углами:
- A = 30°
- C = 90°
- B = 60°
Шаг 2. Найдём стороны по известной гипотенеузе
В прямоугольном треугольнике с углами 30° и 60°, стороны связаны со гипотенузой так:
- Гипотенуза = 12 см
- Против угла 30°: катет равен половине гипотенузы, т.е. \( AB = 6 \) см
- Против угла 60°: катет равен гипотенузе умноженной на \( \frac{\sqrt{3}}{2} \), т.е. \( BC = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \) см
Шаг 3. Расположим треугольник на координатной плоскости
- Пусть точка C — в начале координат: \( C(0, 0) \).
- Точка A — на горизонтали вправо: \( A(12, 0) \), так как гипотенуза AC — горизонтальна.
Графически:
- Высота BD проведена из B на гипотенузу AC.
- Найдём координаты B, чтобы знать, где она находится.
Используем координаты B, исходя из того:
- Базовые сведения: стороны AB и BC, и расположение на плоскости.
Шаг 4. Найдём координаты точек A, B, C
- \( C = (0, 0) \)
- \( A = (12, 0) \)
Нужно найти \( B \):
Из данных:
- \( AB = 6 \)
- \( BC = 6\sqrt{3} \)
Пусть \( B = (x, y) \).
Тогда:
- \( AB = \sqrt{(x - 12)^2 + y^2} = 6 \)
- \( BC = \sqrt{x^2 + y^2} = 6\sqrt{3} \)
Рассмотрим систему уравнений: \[ \begin{cases} (x - 12)^2 + y^2 = 36 \\ x^2 + y^2 = 36 \times 3 = 108 \end{cases} \]
Вычитая из второго уравнения первое, получим: \[ x^2 + y^2 - [(x - 12)^2 + y^2] = 108 - 36 \] \[ x^2 - (x^2 - 24x + 144) = 72 \] \[ x^2 - x^2 + 24x - 144 = 72 \] \[ 24x = 216 \] \[ x = 9 \]
Подставим \( x = 9 \) в одно из уравнений, например, во второе: \[ 9^2 + y^2 = 108 \] \[ 81 + y^2 = 108 \] \[ y^2 = 27 \] \[ y = \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} \]
Рассмотрим положительный вариант (вертикаль вверх), тогда: \[ B = (9, 3\sqrt{3}) \]
Шаг 5. Определение точки D — точка на гипотенузе AC, где проведена высота BD
Высота BD — перпендикуляр, опущенный из B на гипотенузу AC.
- \( A = (12, 0) \)
- \( C = (0, 0) \)
Гипотенуза AC — горизонтальна, уравнение: \( y = 0 \).
Чтобы найти точку D — проекцию B на AC:
- Проекция — это точка на AC, которая образует правый угол с B.
- Так как \( AC \) горизонтальна, перпендикуляр из \( B(9, 3\sqrt{3}) \) — вертикальный, следовательно:
\[ D = (9, 0) \]
Шаг 6. Находим длины DA и CD
- \( D = (9, 0) \)
- \( A = (12, 0) \)
- \( C = (0, 0) \)
Теперь считаем: \[ DA = |x_A - x_D| = |12 - 9| = 3 \text{ см} \] \[ CD = |x_D - x_C| = |9 - 0| = 9 \text{ см} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Длина } DA = 3\, \text{см} \\ \text{Длина } CD = 9\, \text{см} } \]
Если хотите, я могу пояснить любой из этапов подробнее!
