3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC, равной 12 см проведена высота BD. Найдите CD, DA если < A = 30 градусов.

Давайте подробно решим задачу по step-by-step, чтобы понять, как найти длины частей гипотенузы AC — CD и DA — в прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 30°, диагональ AC равна 12 см, и проведена высота BD (B — вершина, где находится угол 90°).

Шаг 1. Построение и основные обозначения

• Треугольник ABC прямоугольный, с гипотенузой AC = 12 см.
• Угол A = 30°, значит угол B = 90° (по условию, поскольку это прямоугольный треугольник) и угол C равен \( 180° - 90° - 30° = 60° \).
• Высота BD проведена из вершины B на гипотенузу AC, деля её на две части \( CD \) и \( DA \).

Обозначим:

• \( D \) — точка на гипотенузе AC, где опущена высота.
• \( AD = x \)
• \( CD = y \)

Тогда сумма частей равна всей гипотенузе: \[ x + y = 12 \]

Шаг 2. Используем свойства прямоугольного треугольника

• В прямоугольном треугольнике гипотенуза делится на две части, пропорциональные катетам:
  \[ \frac{AD}{DB} = \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{BC} \] но для этого нужно знать длины AB и BC или найти их.

Шаг 3. Находим стороны треугольника ABC

Так как угол A = 30°, то в прямоугольном треугольнике:

• Катет AB (против угла 30°):
  \[ AB = AC \cdot \sin 30° = 12 \times \frac{1}{2} = 6\, \text{см} \]
• Катет BC (против угла 60°):
  \[ BC = AC \cdot \cos 30° = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \]

Шаг 4. Используем теорему о высоте на гипотенузу

В прямоугольных треугольниках, проведенных высоты к гипотенузе, выполняются такие свойства:

• Высота BD делит гипотенузу на две части: \[ AD = x \] \[ CD = y \] и \[ AB^2 = AD \times AC = x \times 12 \] \[ BC^2 = CD \times AC = y \times 12 \]

Рассчитаем эти части через найденные длины: \[ AB = 6\, \text{см} \Rightarrow 6^2 = x \times 12 \Rightarrow 36 = 12x \Rightarrow x = 3\, \text{см} \] \[ BC = 6\sqrt{3}\, \text{см} \Rightarrow (6\sqrt{3})^2 = y \times 12 \] \[ 36 \times 3 = y \times 12 \Rightarrow 108 = 12 y \Rightarrow y = 9\, \text{см} \]

Итог:

• \( AD = 3\, \text{см} \)
• \( CD = 9\, \text{см} \)

Проверка:

Сумма частей: \[ 3 + 9 = 12 \] — соответствует длине гипотенузы.

Ответ:

\[ \boxed{ \text{Длина } DA = 3\, \text{см}, \quad CD = 9\, \text{см} } \]

Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить любой из шагов — скажите!