3. В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AC, равной 12 см проведена высота BD. Найдите CD, DA если < A = 30 градусов.

Давайте подробно решим задачу по step-by-step, чтобы понять, как найти длины частей гипотенузы AC — CD и DA — в прямоугольном треугольнике ABC, где угол A равен 30°, диагональ AC равна 12 см, и проведена высота BD (B — вершина, где находится угол 90°). ### Шаг 1. Построение и основные обозначения - Треугольник **ABC** прямоугольный, с гипотенузой **AC = 12 см**. - Угол **A = 30°**, значит угол **B = 90°** (по условию, поскольку это прямоугольный треугольник) и угол **C** равен \( 180° - 90° - 30° = 60° \). - Высота **BD** проведена из вершины **B** на гипотенузу **AC**, деля её на две части \( CD \) и \( DA \). Обозначим: - \( D \) — точка на гипотенузе **AC**, где опущена высота. - \( AD = x \) - \( CD = y \) Тогда сумма частей равна всей гипотенузе: \[ x + y = 12 \] ### Шаг 2. Используем свойства прямоугольного треугольника - В прямоугольном треугольнике гипотенуза делится на две части, пропорциональные катетам: \[ \frac{AD}{DB} = \frac{DB}{DC} = \frac{AB}{BC} \] но для этого нужно знать длины **AB** и **BC** или найти их. ### Шаг 3. Находим стороны треугольника ABC Так как угол **A = 30°**, то в прямоугольном треугольнике: - Катет **AB** (против угла 30°): \[ AB = AC \cdot \sin 30° = 12 \times \frac{1}{2} = 6\, \text{см} \] - Катет **BC** (против угла 60°): \[ BC = AC \cdot \cos 30° = 12 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \] ### Шаг 4. Используем теорему о высоте на гипотенузу В прямоугольных треугольниках, проведенных высоты к гипотенузе, выполняются такие свойства: - Высота **BD** делит гипотенузу на две части: \[ AD = x \] \[ CD = y \] и \[ AB^2 = AD \times AC = x \times 12 \] \[ BC^2 = CD \times AC = y \times 12 \] Рассчитаем эти части через найденные длины: \[ AB = 6\, \text{см} \Rightarrow 6^2 = x \times 12 \Rightarrow 36 = 12x \Rightarrow x = 3\, \text{см} \] \[ BC = 6\sqrt{3}\, \text{см} \Rightarrow (6\sqrt{3})^2 = y \times 12 \] \[ 36 \times 3 = y \times 12 \Rightarrow 108 = 12 y \Rightarrow y = 9\, \text{см} \] ### Итог: - \( AD = 3\, \text{см} \) - \( CD = 9\, \text{см} \) ### Проверка: Сумма частей: \[ 3 + 9 = 12 \] — соответствует длине гипотенузы. --- ## Ответ: \[ \boxed{ \text{Длина } DA = 3\, \text{см}, \quad CD = 9\, \text{см} } \] Если есть вопросы или нужно более подробно объяснить любой из шагов — скажите!