На окружности с центром в точке  O O случайным образом выбрали точку  X X. Какова вероятность того, что эта точка лежит на меньшей дуге  C B CB, если  A B AB и  C D CD — диаметры окружности, а угол  B O D BOD равен  54 ° 54°?

Давайте подробно разберем задачу и найдем ответ по шагам: **Дано:** - Окружность с центром в точке \( O \). - Точки \( A, B, C, D \) — диаметры окружности. Предположим, что: - \( AB \) — диаметр окружности. - \( CD \) — диаметр окружности. - Угол \( BOD \) равен \( 54^\circ \). - Нужно найти вероятность того, что случайно выбранная точка \( X \) на окружности попадает на меньшую дугу \( CB \). --- ### Шаг 1. Понимание ситуации 1. Диаметры \( AB \) и \( CD \) делят окружность на равные половинки. 2. Точки \( A, B, C, D \) расположены на окружности, причем \( AB \) и \( CD \) — диаметры, т.е. они проходят через центр \( O \). 3. Угол \( BOD \) — это угол между радиусами \( OB \) и \( OD \), или, упростив, между радиусами, проведенными к точкам \( B \) и \( D \). --- ### Шаг 2. Вопрошаемая часть - Нужно найти вероятность того, что точка \( X \), выбранная случайным образом на окружности, попадет на меньшую дугу \( CB \). Поскольку точка выбирается случайно по окружности, вероятность того, что она обслужит какую-то дугу, равна длине этой дуги деленной на длину всей окружности. Напомню: \[ \text{Вероятность} = \frac{\text{Длина интересующей дуги}}{\text{Длина всей окружности}}. \] Итак, нужно определить длину меньшей дуги \( CB \) относительно всей окружности. --- ### Шаг 3. Анализ угла \( BOD \) - Радиусы \( OB \) и \( OD \) — это радиусы окружности, неотличимые по длине. - Угол между ними, \( \angle BOD \), равен \( 54^\circ \). Так как \( B \) и \( D \) — точки на окружности, то: \[ \text{Длина дуги } BD = \frac{\angle BOD}{360^\circ} \times \text{окружность}. \] Но, поскольку дуга — меньшая часть, и угол \(\angle BOD = 54^\circ\), то: \[ \text{Длина дуги } BD = \frac{54^\circ}{360^\circ} \times (2\pi R), \] где \( R \) — радиус окружности. --- ### Шаг 4. Расположение точек Поскольку \( A \) и \( B \) — диаметр, то: \[ \angle AOB = 180^\circ. \] Аналогично, \( C \) и \( D \) образуют диаметр, расположенный в другом положении. Дано, что: - \( \angle BOD = 54^\circ \), - \( B \) и \( D \) — точки на окружности, соединённые через центр \( O \). Поскольку \( B \) — это точка на окружности, а \( D \) — ещё одна, и они образуют угол при центре \( O \), равный \( 54^\circ \). --- ### Шаг 5. Что за дуга \( CB \)? - Чтобы понять, какая дуга \( CB \) является меньшей, нужно знать расположение \( C \) относительно \( B \). Условия говорят, что \( AB \) и \( CD \) — диаметры. Значит: - \( A \) и \( B \) — противоположные точки. - \( C \) и \( D \) — противоположные точки. Теперь: - \( A \) — где-то на окружности; \( B \) — диаметрально противоположна \( A \). - Аналогично \( C \) и \( D \). Углы при центре и расположение точек показывают, что: - \( B \) — одна точка; - \( C \) — точка, расположенная так, что дуга \( CB \) — это часть окружности между \( C \) и \( B \), и по условию, нужно определить меньшую дугу \( CB \). --- ### Шаг 6. Получение длины дуги \( CB \) Поскольку \( D \) и \( B \) расположены так, что угол \( BOD = 54^\circ \), то: - \( D \) — точка, расположенная под углом \( 54^\circ \) относительно \( B \). И более того, так как \( C \) — это точка, противоположная \( D \) по диаметру, и для \( C \) и \( D \): \[ \angle COD = 180^\circ, \] потому что \( C \) и \( D \) — диаметрально противоположные точки. Теперь, чтобы получить дугу \( CB \), необходимо знать расположение \( C \) по отношению к \( B \). Если \( B \) и \( C \) — обе точки на окружности, то: - \( C \) — находится так, что \( CD \) — диаметр, то есть \( \angle COD = 180^\circ \). Получается, что: - \( C \) противоположна \( D \), а \( D \) расположен под углом \( 54^\circ \) относительно \( B \). --- ### Шаг 7. Итоговые выводы - Угол \( BOD = 54^\circ \) означает, что дуга \( BD \) равна \( 54^\circ \). Поскольку \( B \) и \( C \) — точки, расположенные на окружности, и \( C \) противоположен \( D \) по диаметру: - Углы, связанные с точкам \( C \), также делят окружность равномерно. Если \( C \) — это точка, противоположная \( D \), а дуга между точками \( C \) и \( B \) — меньшая, то: - Расстояние от \( C \) до \( B \) (через дугу) — составляет разницу между \( 180^\circ \) (противоположной точки) и \( 54^\circ \), что даёт: \[ \text{Меньшая дуга } CB = 180^\circ - 54^\circ = 126^\circ. \] --- ### Шаг 8. Находим вероятность Длина всей окружности — \( 360^\circ \). Меньшая дуга \( CB \) — \( 126^\circ \). Следовательно, вероятность того, что случайная точка попадает на эту дугу: \[ P = \frac{126^\circ}{360^\circ} = \frac{7}{20} = 0.35. \] --- ## Итоговый ответ: **Ответ:** вероятность того, что случайно выбранная точка на окружности лежит на меньшей дуге \( CB \), равна \(\boxed{\frac{7}{20}}\) или 35%. --- Если нужно, я могу добавить дополнительные пояснения!