Давайте решим выражение:
[
\frac{12^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}}
]
Шаг 1. Раскроем числитель: (12^{n+4})
Так как (12 = 2^2 \cdot 3), то:
[
12^{n+4} = (2^2 \cdot 3)^{n+4}
]
Используя свойство степени: ((a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k), получим:
[
12^{n+4} = 2^{2(n+4)} \cdot 3^{n+4}
]
Раскроем показатели:
[
2^{2(n+4)} = 2^{2n + 8}
]
Итак, числитель:
[
2^{2n + 8} \cdot 3^{n+4}
]
Шаг 2. Запишем исходное выражение:
[
\frac{2^{2n + 8} \cdot 3^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}}
]
Шаг 3. Разделим по частям:
[
\left( \frac{2^{2n + 8}}{2^{2n + 5}} \right) \cdot \left( \frac{3^{n+4}}{3^{n+2}} \right)
]
Используем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
[
\frac{a^k}{a^m} = a^{k - m}
]
Получаем:
[
2^{(2n + 8) - (2n + 5)} \cdot 3^{(n+4) - (n+2)}
]
Вычислим показатели:
[
(2n + 8) - (2n + 5) = 8 - 5 = 3
]
[
(n+4) - (n+2) = 4 - 2 = 2
]
Итог:
[
2^3 \cdot 3^2
]
Шаг 4. Посчитаем:
[
2^3 = 8 \quad \text{и} \quad 3^2 = 9
]
Следовательно, итоговое значение:
[
8 \times 9 = 72
]
Ответ:
[
\frac{12^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} = \boxed{72}
]
