(12^(n+4)) / (2^(2n+5) * 3^(n+2))

Давайте решим выражение:
\[ \frac{12^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} \]

Шаг 1. Раскроем числитель: \(12^{n+4}\)

Так как \(12 = 2^2 \cdot 3\), то:
\[ 12^{n+4} = (2^2 \cdot 3)^{n+4} \]

Используя свойство степени: \((a \cdot b)^k = a^k \cdot b^k\), получим:
\[ 12^{n+4} = 2^{2(n+4)} \cdot 3^{n+4} \]

Раскроем показатели:
\[ 2^{2(n+4)} = 2^{2n + 8} \]

Итак, числитель:
\[ 2^{2n + 8} \cdot 3^{n+4} \]

Шаг 2. Запишем исходное выражение:
\[ \frac{2^{2n + 8} \cdot 3^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} \]

Шаг 3. Разделим по частям:
\[ \left( \frac{2^{2n + 8}}{2^{2n + 5}} \right) \cdot \left( \frac{3^{n+4}}{3^{n+2}} \right) \]

Используем правило деления степеней с одинаковыми основаниями:
\[ \frac{a^k}{a^m} = a^{k - m} \]

Получаем:
\[ 2^{(2n + 8) - (2n + 5)} \cdot 3^{(n+4) - (n+2)} \]

Вычислим показатели:
\[ (2n + 8) - (2n + 5) = 8 - 5 = 3 \] \[ (n+4) - (n+2) = 4 - 2 = 2 \]

Итог:
\[ 2^3 \cdot 3^2 \]

Шаг 4. Посчитаем:
\[ 2^3 = 8 \quad \text{и} \quad 3^2 = 9 \]

Следовательно, итоговое значение:
\[ 8 \times 9 = 72 \]

Ответ:

\[ \frac{12^{n+4}}{2^{2n+5} \cdot 3^{n+2}} = \boxed{72} \]