В треугольнике ABC угол A - прямой, АC = 34 см, а угол B = 30° Чему равна сторона BC ? Дайте ответ в сантиметрах.
Давайте решим задачу пошагово.
Дано:
- В треугольнике ABC угол A — прямой (то есть ∠A = 90°).
- АС = 34 см.
- Угол B = 30°.
Нам нужно найти сторону BC.
Шаг 1. Определим известные элементы и обозначения
Обозначим стороны:
- \( AB = c \)
- \( AC = b = 34\,см \)
- \( BC = a \)
По условию угол A прямой, то есть \( \angle A = 90^\circ \).
Шаг 2. Используем свойства прямого треугольника
В прямом треугольнике сумма квадратов катетов = гипотенуза в квадрате (теорема Пифагора).
Так как:
- \( AC = b = 34\,см \),
- угол B = 30°, и нам нужно найти \( BC = a \) (гипотенуза, противолежащая углу C).
Мы можем воспользоваться тригонометрическими функциями, так как у нас есть угол и один катет.
Шаг 3. Определим стороны по тригонометрии
Примем за гипотенузу сторону \( BC = a \).
Так как угол B = 30°,
и сторона AC (противолежит углу C), а сторона AB (противолежит углу B), попробуем найти сторону AB.
Рассмотрим треугольник ABC:
- Угол A — прямой,
- Угол B = 30°,
- Угол C = 60° (так как сумма углов в треугольнике равна 180°, и \( 90^\circ + 30^\circ + 60^\circ = 180^\circ \)).
Теперь используем тригонометрию:
- \( AC \) — это катет, противолежащий углу C = 60°,
- \( AB \) — катет, противолежащий углу B = 30°,
- \( BC \) — гипотенуза, противоположная углу A.
Шаг 4. Находим стороны через синусы и косинусы
В прямом треугольнике:
- \( \sin \theta = \frac{\text{противолежащий}}{\text{гипотенуза}} \),
- \( \cos \theta = \frac{\text adjacent}{\text{гипотенуза}} \).
Из данных углов:
- \( AC \) — противолежит углу C=60°,
- \( AB \) — противолежит углу B=30°.
Но у нас есть сторона AC, которая не является гипотенузой. Чтобы связать её с гипотенузой, сделаем так:
Шаг 5. Найдем гипотенузу BC
Рассмотрим, что:
\[ \sin 60^\circ = \frac{AC}{BC} \]
\[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]
Значит:
\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{34}{a} \]
Отсюда:
\[ a = \frac{34}{\sqrt{3}/2} = 34 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{68}{\sqrt{3}} \]
Рационализируем:
\[ a = \frac{68}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{68 \sqrt{3}}{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ a = \frac{68 \sqrt{3}}{3} \text{ см} } \]
или примерно:
\[ a \approx \frac{68 \times 1.732}{3} \approx \frac{117.776}{3} \approx 39.26\,см \]
Ответ: примерно 39.3 см.
