В равнобедренном треугольнике основание рав равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см, найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Основание равнобедренного треугольника \( AB \) равно 10 см. - Боковая сторона \( AC = BC = 13 \) см. Нам нужно найти радиус вписанной окружности \( r \). --- ### Шаг 1. Обозначим вершины и стороны Обозначим вершину треугольника как \( C \), а основание — \( AB \). - \( AB = 10 \) см - \( AC = BC = 13 \) см --- ### Шаг 2. Построение дополнительных элементов Проведем срединный перпендикуляр к основанию \( AB \), чтобы найти точку \( M \), середину \( AB \). - \( M \) — середина \( AB \), тогда \( AM = MB = 5 \) см. Рассмотрим треугольник \( AMC \): - \( AM = 5 \) см - \( AC = 13 \) см Обозначим высоту \( CH \), опущенную из \( C \) на \( AB \). Тогда \( H \) — основание высоты. --- ### Шаг 3. Найти высоту \( CH \) Поскольку треугольник равнобедренный, высота \( CH \) опускается на основание \( AB \) в точку \( H \), которая является серединой \( AB \), то есть \( H = M \). Используем теорему Пифагора в треугольнике \( ACH \): \[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \] - \( AH = AM = 5 \) см - \( AC = 13 \) см Подставим значения: \[ 13^2 = 5^2 + CH^2 \] \[ 169 = 25 + CH^2 \] Отсюда: \[ CH^2 = 169 - 25 = 144 \] \[ CH = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \] **Значит, высота \( CH = 12 \) см.** --- ### Шаг 4. Найти координаты вершины \( C \) Для удобства можно представить треугольник на координатной плоскости: - \( A = (0, 0) \) - \( B = (10, 0) \) Тогда \( M = (5, 0) \). Высота \( CH \) идет вертикально вверх от \( M \), так как треугольник равнобедренный. - \( C \) имеет координаты \( (5, 12) \). Проверим длины сторон: \[ AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \] Все совпадает, значит, положения верны. --- ### Шаг 5. Найти площадь треугольника \( S \) Площадь треугольника можно найти как: \[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 6. Найти полупериметр \( p \) Общая сторона: - \( AB = 10 \) см - \( AC = BC = 13 \) см Тогда полупериметр: \[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \] --- ### Шаг 7. Использовать формулу радиуса вписанной окружности Радиус вписанной окружности \( r \) связывается с площадью и полупериметром формулой: \[ r = \frac{S}{p} \] Подставим полученные значения: \[ r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3,33 \text{ см} \] --- ## Итог: **Радиус вписанной окружности равен \(\boxed{\frac{10}{3} \text{ см} \approx 3,33 \text{ см})}\.** Если есть дополнительные вопросы или нужен более детальный разбор — скажите!