В равнобедренном треугольнике основание рав равно 10 см, а боковая сторона равна 13 см, найдите радиус окружности, вписанной в этот треугольник.
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Основание равнобедренного треугольника \( AB \) равно 10 см.
- Боковая сторона \( AC = BC = 13 \) см.
Нам нужно найти радиус вписанной окружности \( r \).
Шаг 1. Обозначим вершины и стороны
Обозначим вершину треугольника как \( C \), а основание — \( AB \).
- \( AB = 10 \) см
- \( AC = BC = 13 \) см
Шаг 2. Построение дополнительных элементов
Проведем срединный перпендикуляр к основанию \( AB \), чтобы найти точку \( M \), середину \( AB \).
- \( M \) — середина \( AB \), тогда \( AM = MB = 5 \) см.
Рассмотрим треугольник \( AMC \):
- \( AM = 5 \) см
- \( AC = 13 \) см
Обозначим высоту \( CH \), опущенную из \( C \) на \( AB \). Тогда \( H \) — основание высоты.
Шаг 3. Найти высоту \( CH \)
Поскольку треугольник равнобедренный, высота \( CH \) опускается на основание \( AB \) в точку \( H \), которая является серединой \( AB \), то есть \( H = M \).
Используем теорему Пифагора в треугольнике \( ACH \):
\[ AC^2 = AH^2 + CH^2 \]
- \( AH = AM = 5 \) см
- \( AC = 13 \) см
Подставим значения:
\[ 13^2 = 5^2 + CH^2 \]
\[ 169 = 25 + CH^2 \]
Отсюда:
\[ CH^2 = 169 - 25 = 144 \]
\[ CH = \sqrt{144} = 12 \text{ см} \]
Значит, высота \( CH = 12 \) см.
Шаг 4. Найти координаты вершины \( C \)
Для удобства можно представить треугольник на координатной плоскости:
- \( A = (0, 0) \)
- \( B = (10, 0) \)
Тогда \( M = (5, 0) \).
Высота \( CH \) идет вертикально вверх от \( M \), так как треугольник равнобедренный.
- \( C \) имеет координаты \( (5, 12) \).
Проверим длины сторон:
\[ AC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13 \]
Все совпадает, значит, положения верны.
Шаг 5. Найти площадь треугольника \( S \)
Площадь треугольника можно найти как:
\[ S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота} = \frac{1}{2} \times 10 \times 12 = 60 \text{ см}^2 \]
Шаг 6. Найти полупериметр \( p \)
Общая сторона:
- \( AB = 10 \) см
- \( AC = BC = 13 \) см
Тогда полупериметр:
\[ p = \frac{AB + AC + BC}{2} = \frac{10 + 13 + 13}{2} = \frac{36}{2} = 18 \text{ см} \]
Шаг 7. Использовать формулу радиуса вписанной окружности
Радиус вписанной окружности \( r \) связывается с площадью и полупериметром формулой:
\[ r = \frac{S}{p} \]
Подставим полученные значения:
\[ r = \frac{60}{18} = \frac{10}{3} \approx 3,33 \text{ см} \]
Итог:
Радиус вписанной окружности равен (\boxed{\frac{10}{3} \text{ см} \approx 3,33 \text{ см})}.
Если есть дополнительные вопросы или нужен более детальный разбор — скажите!
