Реши задачу: Точка Е- середина боковой стороны АВ трапеции ABCD. Докажите, что площадь треугольника ECD равна половине площади трапеции . (геометрия 8 класс)
Давайте решим задачу по шагам.
Дано:
- Трапеция \(ABCD\), в которой \(AB\) — одна из параллельных сторон, а \(AD\) и \(BC\) — боковые стороны.
- Точка \(E\) — середина боковой стороны \(AB\).
Требуется:
- Докзать, что площадь треугольника \(ECD\) равна половине площади трапеции \(ABCD\).
Шаг 1. Обозначим и запишем данные
Пусть:
- \(AB\) — основание трапеции уравнено по оси \(x\), например, \(A(0, 0)\), \(B(b, 0)\),
- \(D\) и \(C\) лежат на другой параллельной стороне: \(D(0, h)\), \(C(b, h)\),
- Тогда трапеция задаётся координатами: \[ A(0,0),\quad B(b, 0),\quad D(0, h),\quad C(b, h), \] где \(b > 0, h > 0\).
Шаг 2. Найдём координаты точки \(E\)
- Точка \(E\) — середина \(AB\): \[ E\left(\frac{0 + b}{2}, 0\right) = \left(\frac{b}{2}, 0\right). \]
Шаг 3. Найдём площадь трапеции \(ABCD\)
Площадь трапеции равна: \[ S_{ABCD} = \frac{(AB + CD)}{2} \times h = \frac{(b + b)}{2} \times h = b h, \] так как основания равны \(AB = CD = b\).
Обратите внимание: в условиях может быть непараллельность сторон, если трапеция не равнобокая, однако для упрощения предположим прямую трапецию. В общем случае, если основание \(AB\) и \(DC\) параллельны и длины равны \(b\), то площадь выше верна.
Шаг 4. Запишем координаты точек
- \(E\left(\frac{b}{2}, 0\right)\),
- \(C(b, h)\),
- \(D(0, h)\).
Нам нужно найти площадь треугольника \(E C D\).
Шаг 5. Вычислим площадь треугольника \(E C D\)
Используем формулу площади по координатам точек: \[ S_{ECD} = \frac{1}{2} \left| x_E(y_C - y_D) + x_C(y_D - y_E) + x_D(y_E - y_C) \right|. \]
Подставим: \[ x_E = \frac{b}{2}, \quad y_E=0, \] \[ x_C = b, \quad y_C=h, \] \[ x_D = 0, \quad y_D=h. \]
Получим:
\[ S_{ECD} = \frac{1}{2} | \frac{b}{2}(h - h) + b(h - 0) + 0(0 - h) |. \]
Упростим:
- \(\frac{b}{2}(h - h) = 0\),
- \(b(h - 0) = b h\),
- \(0(0 - h) = 0\).
Итак,
\[ S_{ECD} = \frac{1}{2} | 0 + b h + 0 | = \frac{1}{2} \times b h = \frac{b h}{2}. \]
Заключение:
Площадь трапеции:
\[ S_{ABCD} = b h, \]
а площадь треугольника \(E C D\):
\[ S_{E C D} = \frac{b h}{2}. \]
Следовательно,
\[ \boxed{ S_{E C D} = \frac{1}{2} S_{ABCD}. } \]
Ответ:
Площадь треугольника \(ECD\) равна половине площади трапеции \(ABCD\).
