Составьте таблицу распределения вероятностей и найдите математическое ожидание суммы очков, выпадающих на четырёх кубиках при одном броске.
Давайте разберём задачу пошагово.
Задача:
Составьте таблицу распределения вероятностей суммы очков, выпадающих при броске четырёх шестигранных кубиков, и найдите математическое ожидание этой суммы.
Шаг 1: Представление задачи
- Есть 4 кубика.
- Каждый кубик — стандартный, с числами от 1 до 6.
- Нужно определить вероятность каждой возможной суммы очков (от 4 до 24).
- Найти математическое ожидание суммы.
Шаг 2: Общее количество вариантов
Общее количество исходов при броске четырёх кубиков:
\[ 6^4 = 1296. \]
Каждое комбинационное распределение имеет равную вероятность:
\[ P = \frac{1}{1296}. \]
Шаг 3: Построение таблицы распределения вероятностей
Чтобы найти вероятность для каждой суммы, нужно учитывать все исходы, при которых сумма очков равна определённому числу.
Найти точное число таких исходов — сложная комбинаторная задача, поэтому используют методы, такие как сводные функции или разложение многочлена:
\[ (х + х^2 + х^3 + х^4 + х^5 + х^6)^4. \]
Коэффициенты этого многочлена при степени от 4 до 24 указывают, сколько способов получить соответствующую сумму.
Разложение:
Многочлен: \[ P(x) = (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^4. \]
Коэффициенты при \( x^k \) (для \(k=4,5,\ldots,24\)) дают число исходов с суммой \(k\).
Шаг 4: Расчёт вероятностей (через коэффициенты)
Такие коэффициенты обычно ищут при помощи компьютерных программ или таблиц. Для иллюстрации — приведу таблицу вероятностей примерных значений для суммы при броске четырёх кубиков:
| Сумма | Количество исходов | Вероятность |
|---|---|---|
| 4 | 1 | 1/1296 ≈ 0.00077 |
| 5 | 4 | 4/1296 ≈ 0.00309 |
| 6 | 10 | 10/1296 ≈ 0.00772 |
| 7 | 20 | 20/1296 ≈ 0.01543 |
| 8 | 35 | 35/1296 ≈ 0.02701 |
| 9 | 56 | 56/1296 ≈ 0.04321 |
| 10 | 80 | 80/1296 ≈ 0.06173 |
| 11 | 104 | 104/1296 ≈ 0.0802 |
| 12 | 125 | 125/1296 ≈ 0.09645 |
| 13 | 140 | 140/1296 ≈ 0.10802 |
| 14 | 146 | 146/1296 ≈ 0.11266 |
| 15 | 140 | 140/1296 ≈ 0.10802 |
| 16 | 125 | 125/1296 ≈ 0.09645 |
| 17 | 104 | 104/1296 ≈ 0.0802 |
| 18 | 80 | 80/1296 ≈ 0.06173 |
| 19 | 56 | 56/1296 ≈ 0.04321 |
| 20 | 35 | 35/1296 ≈ 0.02701 |
| 21 | 20 | 20/1296 ≈ 0.01543 |
| 22 | 10 | 10/1296 ≈ 0.00772 |
| 23 | 4 | 4/1296 ≈ 0.00309 |
| 24 | 1 | 1/1296 ≈ 0.00077 |
Шаг 5: Нахождение математического ожидания
Математическое ожидание суммы \(\mathbb{E}\) находится по формуле:
\[ \mathbb{E} = \sum_{k=4}^{24} k \times P(k), \] где \( P(k) \) — вероятность суммы равной \(k\).
Подставим значения:
\[ \mathbb{E} \approx \frac{1}{1296} \big( 4 \times 1 + 5 \times 4 + 6 \times 10 + 7 \times 20 + 8 \times 35 + 9 \times 56 + 10 \times 80 + 11 \times 104 + 12 \times 125 + 13 \times 140 + 14 \times 146 + 15 \times 140 + 16 \times 125 + 17 \times 104 + 18 \times 80 + 19 \times 56 + 20 \times 35 + 21 \times 20 + 22 \times 10 + 23 \times 4 + 24 \times 1 \big). \]
Выполняем расчет:
\[ \mathbb{E} \approx \frac{1}{1296} \times \\ (4 \times 1 + 20 + 60 + 140 + 280 + 504 + 800 + 1144 + 1500 + 1690 + 2044 + 2100 + 2000 + 1768 + 1440 + 1064 + 700 + 420 + 220 + 92 + 24) \]
Сумма числителя:
\[ 4 + 20 + 60 + 140 + 280 + 504 + 800 + 1144 + 1500 + 1690 + 2044 + 2100 + 2000 + 1768 + 1440 + 1064 + 700 + 420 + 220 + 92 + 24 = 23252. \]
Итак,
\[ \mathbb{E} \approx \frac{23252}{1296} \approx 17.94. \]
Итог:
- Таблица распределения вероятностей содержит вероятности по суммам, можно найти их с помощью разложения многочлена или таблиц.
- Математическое ожидание суммы при броске четырёх кубиков примерно равно 17.94.
Если нужен более точный расчет или дополнительные вопросы — скажите!
