5. Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного опыта. Отметьте на этом дереве «стрелок попал в мишень» и найдите его вероятность, если вероятность попадания при каждом выстреле равна: a) 0,4 б) 0,8

Давайте подробно разберем задание, построим дерево вероятностей и вычислим искомую вероятность. ### Условие задачи: - Стрелок делает выстрел по мишени. - Если он попал — выстрел заканчивается. - Если промахнулся — он делает еще один выстрел, и так далее, пока не попадет. ### Построение дерева Это — последовательный процесс, где после каждого промаха есть шанс попасть. Обозначим: - \( p \) — вероятность попадания при каждом выстреле. - \( q = 1 - p \) — вероятность промаха при каждом выстреле. Дерево опыта выглядит так: ```plaintext Первый выстрел: Попал (вероятность \( p \)) Или промахнулся (вероятность \( q \)): Тогда делается второй выстрел: Попал (вероятность \( p \)) Или промахнулся (вероятность \( q \)): Тогда делается третий выстрел: И так далее... ``` ### Вероятность того, что стрелок попадет в мишень (в любой момент) Это событие — "стрелок попадет в мишень при первом, втором, третьем, ... выстреле". Это классическая ситуация для геометрического распределения. Вероятность того, что стрелок попадет впервые на \( n \)-ом выстреле: \[ P(\text{первое попадание на } n\text{-ом выстреле}) = q^{n-1} \times p. \] Общая вероятность того, что стрелок когда-либо попадет (так как он либо попадет, либо не попадет вообще, но в условии мы предполагаем, что выстрелы продолжаются до попадания), — это сумма всех этих вероятностей: \[ P(\text{стрелок когда-либо попадет}) = \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1} p. \] Это — бесконечная геометрическая прогрессия, сумма которой равна: \[ \boxed{ P = p \times \sum_{n=0}^{\infty} q^{n} = p \times \frac{1}{1 - q} = p \times \frac{1}{p} = 1. } \] Иными словами, **если выстрелы продолжаются до попадания, то вероятность, что стрелок когда-либо попадет, равна 1** — он в конце концов обязательно попадет. ### Но в условии речь идет о вероятности «стрелок попал в мишень хотя бы один раз» — остановка после первого попадания. Тогда, вероятно, вопрос — **какова вероятность того, что стрелок попасть хотя бы один раз?** Если предполагается, что стрелок округёт хоть один раз, то вероятность равна 1, а если имеется в виду вероятность, что он попадет в случайный конкретный выстрел, то это просто \( p \). В случае, если нужно найти вероятность, что он попадет в мишень хотя бы один раз в серию выстрелов — это, как уже рассмотрено, равняется 1. --- ### Варианты, исходя из ваших данных: **а) \( p = 0.4 \)** - Вероятность, что стрелок попадет хотя бы один раз — равна 1 (так как он делает бесконечное число выстрелов, пока не попадет). - **Если нужно найти вероятность того, что он попадет именно в первый выстрел**, то это \( 0,4 \). **б) \( p = 0,8 \)** - Аналогично, вероятность, что он попадет хотя бы один раз — 1. - Вероятность попадания в первый выстрел — \( 0.8 \). --- ### Итог: Для **наиболее вероятного понимания** задачи: - Вероятность, что стрелок когда-нибудь попадет (если он стреляет бесконечно и останавливается при попадании) — **равна 1**. - Вероятность попадания в конкретный выстрел — равна \( p \). --- Если нужно было построить **дерево с отметками "стрелок попал"**, то оно выглядит так: ```plaintext Первый выстрел: Попал (вероятность p) ← отмечено "стрелок попал" здесь Или промах (вероятность q = 1 - p): -> делается второй выстрел: Попал (p) Или промах (q): -> следующий выстрел и так далее. ``` --- Если нужен более конкретный расчет — уточняйте параметры задачи.