5. Стрелок в тире делает выстрел по мишени. Если он попал в мишень, то больше он не стреляет, а если промахнулся, то делает ещё один выстрел. Постройте дерево этого случайного…

Давайте подробно разберем задание, построим дерево вероятностей и вычислим искомую вероятность.

Условие задачи:

• Стрелок делает выстрел по мишени.
• Если он попал — выстрел заканчивается.
• Если промахнулся — он делает еще один выстрел, и так далее, пока не попадет.

Построение дерева

Это — последовательный процесс, где после каждого промаха есть шанс попасть.

Обозначим:

• \( p \) — вероятность попадания при каждом выстреле.
• \( q = 1 - p \) — вероятность промаха при каждом выстреле.

Дерево опыта выглядит так:

Первый выстрел:
  Попал (вероятность \( p \))
  Или промахнулся (вероятность \( q \)):
    Тогда делается второй выстрел:
      Попал (вероятность \( p \))
      Или промахнулся (вероятность \( q \)):
        Тогда делается третий выстрел:
          И так далее...

Вероятность того, что стрелок попадет в мишень (в любой момент)

Это событие — "стрелок попадет в мишень при первом, втором, третьем, ... выстреле".

Это классическая ситуация для геометрического распределения. Вероятность того, что стрелок попадет впервые на \( n \)-ом выстреле:

\[ P(\text{первое попадание на } n\text{-ом выстреле}) = q^{n-1} \times p. \]

Общая вероятность того, что стрелок когда-либо попадет (так как он либо попадет, либо не попадет вообще, но в условии мы предполагаем, что выстрелы продолжаются до попадания), — это сумма всех этих вероятностей:

\[ P(\text{стрелок когда-либо попадет}) = \sum_{n=1}^{\infty} q^{n-1} p. \]

Это — бесконечная геометрическая прогрессия, сумма которой равна:

\[ \boxed{ P = p \times \sum_{n=0}^{\infty} q^{n} = p \times \frac{1}{1 - q} = p \times \frac{1}{p} = 1. } \]

Иными словами, если выстрелы продолжаются до попадания, то вероятность, что стрелок когда-либо попадет, равна 1 — он в конце концов обязательно попадет.

Но в условии речь идет о вероятности «стрелок попал в мишень хотя бы один раз» — остановка после первого попадания. Тогда, вероятно, вопрос — какова вероятность того, что стрелок попасть хотя бы один раз?

Если предполагается, что стрелок округёт хоть один раз, то вероятность равна 1, а если имеется в виду вероятность, что он попадет в случайный конкретный выстрел, то это просто \( p \).

В случае, если нужно найти вероятность, что он попадет в мишень хотя бы один раз в серию выстрелов — это, как уже рассмотрено, равняется 1.

Варианты, исходя из ваших данных:

а) \( p = 0.4 \)

• Вероятность, что стрелок попадет хотя бы один раз — равна 1 (так как он делает бесконечное число выстрелов, пока не попадет).

• Если нужно найти вероятность того, что он попадет именно в первый выстрел, то это \( 0,4 \).

б) \( p = 0,8 \)

• Аналогично, вероятность, что он попадет хотя бы один раз — 1.

• Вероятность попадания в первый выстрел — \( 0.8 \).

Итог:

Для наиболее вероятного понимания задачи:

• Вероятность, что стрелок когда-нибудь попадет (если он стреляет бесконечно и останавливается при попадании) — равна 1.
• Вероятность попадания в конкретный выстрел — равна \( p \).

Если нужно было построить дерево с отметками "стрелок попал", то оно выглядит так:

Первый выстрел:
  Попал (вероятность p) ← отмечено "стрелок попал" здесь
  Или промах (вероятность q = 1 - p):
    -> делается второй выстрел:
       Попал (p)
       Или промах (q):
          -> следующий выстрел и так далее.

Если нужен более конкретный расчет — уточняйте параметры задачи.