Ваша задача — найти наименьшее целое число ( y ), принадлежащее области определения выражения:
[
\sqrt{4 + y} + \frac{1}{\sqrt{15y - 5}}
]
Давайте пошагово разберёмся:
Шаг 1: Область определения выражения
Область определения — это все значения ( y ), для которых выражение существует.
- Для ( \sqrt{4 + y} ):
[ 4 + y \geq 0 \Rightarrow y \geq -4 ]
- Для ( \frac{1}{\sqrt{15y - 5}} ):
- Внутри корня должна быть положительным числом, чтобы выражение было определено:
[ 15y - 5 > 0 \Rightarrow 15y > 5 \Rightarrow y > \frac{1}{3} ]
- Также знаменатель не должен равняться нулю — уже учтено условием ( > 0 ).
Итак:
[
y > \frac{1}{3}
]
и
[
y \geq -4
]
Самая строгая из этих условий — ( y > \frac{1}{3} ) (так как ( y ) должно быть строго больше ( 1/3 )).
Итак, область определения:
[
y > \frac{1}{3}
]
Шаг 2: Задача — найти наименьшее целое ( y ), принадлежащее этой области
Так как ( y > \frac{1}{3} ), ближайшее целое число, большее чем ( 1/3 ), — 1.
Проверим, подходит ли ( y = 1 ):
- ( y = 1 > \frac{1}{3} ), условие выполнено.
Шаг 3: Подставим ( y = 1 ) в выражение и посмотрим, что получится
Находим:
[
\sqrt{4 + 1} + \frac{1}{\sqrt{15 \times 1 - 5}}
]
Вычисляем пошагово:
( 4 + 1 = 5 )
( \sqrt{5} )
( 15 \times 1 - 5 = 10 )
( \sqrt{10} )
Значит,
[
\sqrt{5} + \frac{1}{\sqrt{10}}
]
Это — допустимое значение, так как в области определения.
Итог:
Наименьшее целое число ( y ), для которого выражение определено, равно (\boxed{1}).
