Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти скорость первого автомобиля.
Обозначения:
- Пусть ( v_1 ) — скорость первого автомобилиста (неизвестна, но больше 40 км/ч).
- Пусть ( S ) — общий путь от точки А до В (одинаковый для обоих).
Из условия:
- Первый ехал со скоростью ( v_1 ) всю дорогу.
- Второй ездил:
- сначала половину пути (( \frac{S}{2} )) со скоростью ( v_2 = v_1 - 11 ) км/ч,
- затем вторую половину со скоростью 66 км/ч.
Оба приехали одновременно, значит, их времена пути равны.
Шаг 1. Запишем время первого автомобилиста
Это просто:
[
T_1 = \frac{S}{v_1}
]
Шаг 2. Запишем время второго автомобилиста
Время, затраченное вторым на первую половину пути:
[
T_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11}
]
Время на вторую половину:
[
T_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{66}
]
Общее время второго:
[
T_2 = T_{2,1} + T_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11} + \frac{\frac{S}{2}}{66}
]
Шаг 3. Запишем равенство времен
Так как оба приехали одновременно:
[
T_1 = T_2
]
Подставим выражения:
[
\frac{S}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11} + \frac{\frac{S}{2}}{66}
]
Упростим обе стороны, сократив ( S ):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{\frac{1}{2}}{v_1 - 11} + \frac{\frac{1}{2}}{66}
]
Шаг 4. Упростим выражение
Перенесем общие множители:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{2 \times 66}
]
Обозначим:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{132}
]
Шаг 5. Приведем к общему знаменателю
Общий знаменатель — ( 2(v_1 - 11) \times 132 ).
Перепишем:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{66}{2 \times 66 (v_1 - 11)} + \frac{v_1 - 11}{2 (v_1 - 11) \times 66}
]
Но лучше выразим решение через общие дроби для прозрачности.
Итак, умножим обе части уравнения на ( 2 v_1 (v_1 - 11) \times 66 ), чтобы избавиться от дробей.
Шаг 6. Решение уравнения
Домножим обе части на общий знаменатель:
[
2 v_1 (v_1 - 11) \times 66
]
Получим:
[
2 (v_1 - 11) \times 66 = v_1 \times 66 + v_1 (v_1 - 11)
]
Но давайте обратно к исходной формуле и решим более аккуратно.
Вернемся к предшествующему упрощению:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{132}
]
Приведем правую часть к одному знаменателю:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{66}{132 (v_1 - 11)} + \frac{v_1 - 11}{132 (v_1 - 11)}
]
Запишем так:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{66 + v_1 - 11}{132 (v_1 - 11)} = \frac{v_1 + 55}{132 (v_1 - 11)}
]
Теперь, умножая обе части на ( v_1 ):
[
1 = v_1 \times \frac{v_1 + 55}{132 (v_1 - 11)}
]
Перенесем:
[
132 (v_1 - 11) = v_1 (v_1 + 55)
]
Раскроем скобки:
[
132 v_1 - 132 \times 11 = v_1^2 + 55 v_1
]
Заменим: ( 132 \times 11 = 1452 )
Итак:
[
132 v_1 - 1452 = v_1^2 + 55 v_1
]
Перенесем все в левую сторону:
[
v_1^2 + 55 v_1 - 132 v_1 + 1452 = 0
]
Объединим подобные члены:
[
v_1^2 - 77 v_1 + 1452 = 0
]
Шаг 7. Решение квадратного уравнения
Квадратное уравнение:
[
v_1^2 - 77 v_1 + 1452 = 0
]
Дискриминант:
[
D = (-77)^2 - 4 \times 1 \times 1452 = 5929 - 5808 = 121
]
Корни:
[
v_1 = \frac{77 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{77 \pm 11}{2}
]
Варианты:
- ( v_1 = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44 )
- ( v_1 = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33 )
Из условий задачи известно, что скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, следовательно, допустимый ответ:
[
\boxed{v_1 = 44, \text{км/ч}}
]
Итог:
Скорость первого автомобилиста — 44 км/ч.
