Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого…

Давайте решим задачу пошагово, чтобы понять, как найти скорость первого автомобиля.

Обозначения:

• Пусть \( v_1 \) — скорость первого автомобилиста (неизвестна, но больше 40 км/ч).
• Пусть \( S \) — общий путь от точки А до В (одинаковый для обоих).

Из условия:

• Первый ехал со скоростью \( v_1 \) всю дорогу.
• Второй ездил:
  • сначала половину пути (\( \frac{S}{2} \)) со скоростью \( v_2 = v_1 - 11 \) км/ч,
  • затем вторую половину со скоростью 66 км/ч.

Оба приехали одновременно, значит, их времена пути равны.

---

Шаг 1. Запишем время первого автомобилиста

Это просто: \[ T_1 = \frac{S}{v_1} \]

---

Шаг 2. Запишем время второго автомобилиста

Время, затраченное вторым на первую половину пути: \[ T_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11} \]

Время на вторую половину: \[ T_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{66} \]

Общее время второго: \[ T_2 = T_{2,1} + T_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11} + \frac{\frac{S}{2}}{66} \]

---

Шаг 3. Запишем равенство времен

Так как оба приехали одновременно: \[ T_1 = T_2 \]

Подставим выражения: \[ \frac{S}{v_1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_1 - 11} + \frac{\frac{S}{2}}{66} \]

Упростим обе стороны, сократив \( S \): \[ \frac{1}{v_1} = \frac{\frac{1}{2}}{v_1 - 11} + \frac{\frac{1}{2}}{66} \]

---

Шаг 4. Упростим выражение

Перенесем общие множители: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{2 \times 66} \]

Обозначим: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{132} \]

---

Шаг 5. Приведем к общему знаменателю

Общий знаменатель — \( 2(v_1 - 11) \times 132 \).

Перепишем: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{66}{2 \times 66 (v_1 - 11)} + \frac{v_1 - 11}{2 (v_1 - 11) \times 66} \]

Но лучше выразим решение через общие дроби для прозрачности.

Итак, умножим обе части уравнения на \( 2 v_1 (v_1 - 11) \times 66 \), чтобы избавиться от дробей.

---

Шаг 6. Решение уравнения

Домножим обе части на общий знаменатель: \[ 2 v_1 (v_1 - 11) \times 66 \]

Получим: \[ 2 (v_1 - 11) \times 66 = v_1 \times 66 + v_1 (v_1 - 11) \]

Но давайте обратно к исходной формуле и решим более аккуратно.

Вернемся к предшествующему упрощению: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2(v_1 - 11)} + \frac{1}{132} \]

Приведем правую часть к одному знаменателю: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{66}{132 (v_1 - 11)} + \frac{v_1 - 11}{132 (v_1 - 11)} \]

Запишем так: \[ \frac{1}{v_1} = \frac{66 + v_1 - 11}{132 (v_1 - 11)} = \frac{v_1 + 55}{132 (v_1 - 11)} \]

Теперь, умножая обе части на \( v_1 \):

\[ 1 = v_1 \times \frac{v_1 + 55}{132 (v_1 - 11)} \]

Перенесем:

\[ 132 (v_1 - 11) = v_1 (v_1 + 55) \]

Раскроем скобки:

\[ 132 v_1 - 132 \times 11 = v_1^2 + 55 v_1 \]

Заменим: \( 132 \times 11 = 1452 \)

Итак:

\[ 132 v_1 - 1452 = v_1^2 + 55 v_1 \]

Перенесем все в левую сторону:

\[ v_1^2 + 55 v_1 - 132 v_1 + 1452 = 0 \]

Объединим подобные члены:

\[ v_1^2 - 77 v_1 + 1452 = 0 \]

---

Шаг 7. Решение квадратного уравнения

Квадратное уравнение: \[ v_1^2 - 77 v_1 + 1452 = 0 \]

Дискриминант: \[ D = (-77)^2 - 4 \times 1 \times 1452 = 5929 - 5808 = 121 \]

Корни: \[ v_1 = \frac{77 \pm \sqrt{121}}{2} = \frac{77 \pm 11}{2} \]

Варианты:

• \( v_1 = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44 \)
• \( v_1 = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33 \)

Из условий задачи известно, что скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч, следовательно, допустимый ответ:

\[ \boxed{v_1 = 44\, \text{км/ч}} \]

---

Итог:

Скорость первого автомобилиста — 44 км/ч.