Стас выбирает трехзначное число. Найдите вероятность того, что оно делится на 48.
Давайте решим задачу подробно и понятно.
Задача: Стас выбирает трехзначное число. Нужно найти вероятность того, что оно делится на 48.
Шаг 1. Какие числа рассматриваем?
- Трехзначные числа — это числа от 100 до 999 включительно.
Общее количество таких чисел:
\[ 999 - 100 + 1 = 900 \]
Т.е. всего трёхзначных чисел — 900.
Шаг 2. Что означает делиться на 48?
Число делится на 48, если при делении на 48 остаток равен 0.
Шаг 3. Какие числа делятся на 48 в диапазоне от 100 до 999?
Нам нужно найти все числа от 100 до 999, которые кратны 48.
Общий подход:
- Находим первое такое число: минимальное трехзначное число, делящееся на 48.
- Находим последнее такое число: максимальное трехзначное число, делящееся на 48.
- Посчитаем, сколько таких чисел между ними.
Шаг 4. Поиск первого числа, кратного 48, в диапазоне 100–999
Чтобы найти первую кратную 48, большую или равную 100:
Разделим 100 на 48:
\[ 100 / 48 \approx 2.08 \]
Это значит, что первая кратная 48, которая не меньше 100 — это:
\[ 48 \times 3 = 144 \]
Потому что \( 48 \times 2 = 96 \), что меньше 100, а \( 48 \times 3 = 144 \), что больше или равно 100.
Шаг 5. Поиск последнего числа, кратного 48, в диапазоне 100–999
Теперь находим максимальное кратное 48, которое не превосходит 999:
\[ 999 / 48 \approx 20.78 \]
Значит, наибольшее целое число, не превышающее 999, которое делится на 48 — это:
\[ 48 \times 20 = 960 \]
Так как \( 48 \times 21 = 1008 \), что больше 999.
Шаг 6. Посчитаем количество чисел, кратных 48, от 144 до 960
Это арифметическая прогрессия:
- Первый член: \( a_1 = 144 \)
- Последний член: \( a_n = 960 \)
- Шаг: 48
Чтобы найти количество таких чисел:
\[ n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1 \]
где \( d = 48 \):
\[ n = \frac{960 - 144}{48} + 1 = \frac{816}{48} + 1 = 17 + 1 = 18 \]
Итак, таких чисел — 18.
Шаг 7. Вычисление вероятности
Вероятность — это отношение количества благоприятных исходов к общему количеству возможных исходов.
- Благоприятных исходов: 18 (чисел, делящихся на 48)
- Общее число возможных: 900 (все трехзначные числа)
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{18}{900} = \frac{1}{50} } \]
Итог:
Вероятность того, что выбранное случайно трехзначное число делится на 48, равна \(\displaystyle \frac{1}{50}\).
