Давайте решим задачу шаг за шагом.
Дано:
- Общая площадь стен, которую нужно обработать: ( S = 560 ) кв.м.
- В бригаде изначально было ( x ) человек.
- Из бригады по каким-то причинам не смогли работать 2 человека.
- То есть осталось работать ( x - 2 ) человек.
- Каждому работавшему пришлось обработать на 14 кв.м больше, чем если бы работали все изначально ( x ) человек.
Наш вопрос: найти число человек в бригаде ( x ).
Шаг 1. Обозначим неизвестные и составим уравнение.
Общая работа — это сумма обработанных всеми работниками площадей. Пусть ( x ) — изначальное число работников.
- Площадь, которую обрабатывает каждый человек, если работает весь набор из ( x ):
[
A = \frac{S}{x}
]
- Площадь, которую обрабатывает каждый, если остаётся только ( x - 2 ) человек:
[
A' = \frac{S}{x - 2}
]
- По условию, каждый из работавших ( x - 2 ) человек, обработал на 14 кв.м больше, чем если бы работали все ( x ):
[
A' = A + 14
]
Подставим выражения:
[
\frac{S}{x - 2} = \frac{S}{x} + 14
]
Шаг 2. Решение уравнения.
Подставим ( S = 560 ):
[
\frac{560}{x - 2} = \frac{560}{x} + 14
]
Перенесем ( \frac{560}{x} ) и 14 в левую сторону, получим:
[
\frac{560}{x - 2} - \frac{560}{x} = 14
]
Объединим левую часть в одну дробь, найдя общий знаменатель ( x(x - 2) ):
[
\frac{560x - 560(x - 2)}{x(x - 2)} = 14
]
Раскроем скобки в числителе:
[
\frac{560x - 560x + 1120}{x(x - 2)} = 14
]
Упростим numerator:
[
\frac{1120}{x(x - 2)} = 14
]
Теперь умножим обе части уравнения на ( x(x - 2) ):
[
1120 = 14 \cdot x(x - 2)
]
Разделим обе части на 14:
[
\frac{1120}{14} = x(x - 2)
]
[
80 = x^2 - 2x
]
Шаг 3. Решение квадратного уравнения.
Получилось:
[
x^2 - 2x = 80
]
Перенесем все в левую сторону:
[
x^2 - 2x - 80 = 0
]
Рассмотрим это квадратичное уравнение. Используем формулу дискрминанта:
[
D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80) = 4 + 320 = 324
]
Корни:
[
x = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}
]
Рассчитаем оба варианта:
- ( x = \frac{2 + 18}{2} = \frac{20}{2} = 10 )
- ( x = \frac{2 - 18}{2} = \frac{-16}{2} = -8 )
Так как число людей не может быть отрицательным, выбираем ( x = 10 ).
Ответ:
В бригаде изначально было 10 человек.
Если нужны дополнительные пояснения — спрашивайте!
