В круг радиусом 8 см бросают точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны круга будет меньше 2 см?

Давайте разберем задачу пошагово. **Задача:** В круг радиусом 8 см бросают точку внутри него. Нужно найти вероятность того, что расстояние от выбранной точки до ближайшей стороны круга будет меньше 2 см. --- ### Шаг 1. Понимание задачи - У нас есть круг радиусом R = 8 см. - Точку выбирают случайно внутри этого круга (равномерно). - Требуется определить вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны круга меньше 2 см. --- ### Шаг 2. Что означает "расстояние до стороны" и "меньше 2 см"? - Расстояние от точки внутри круга до его границы — это расстояние от этой точки до окружности. - Нас интересует области внутри круга, в которых расстояние до границы < 2 см. То есть — области, где точка находится в пределах 2 см от окружности. --- ### Шаг 3. Визуализация и геометрия - Радиус круга R = 8 см. - Чтобы расстояние от точки до границы было меньше 2 см, точка должна находиться внутри параллельной окружности, которая находится внутри исходного круга и отстоит не более 2 см от границы. - Эта внутренняя окружность — радиусом R - 2 = 6 см, расположенная внутри исходного круга. ### \(\boxed{\text{Область, где расстояние до границы} < 2 \text{ см}}\), — это вся область, находящаяся в радиусе 6 см от центра круга.** - Иными словами, если точка находится внутри меньшего круга радиуса 6 см, то расстояние до границы больше 2 см. - Если точка находится в области между радиусами 6 и 8 см, то расстояние до границы — менее 2 см. --- ### Шаг 4. Определение интересующей области - **Область "расстояние < 2 см"** — это внешняя часть круга, радиусом от 6 до 8 см. **То есть, интересующая нас область — это кольцо с внутренним радиусом 6 см и наружным радиусом 8 см.** --- ### Шаг 5. Подсчет вероятности - Вероятность равна отношению площади интересующей области к общей площади круга. Общая площадь круга: \[ S_{\text{общий}} = \pi R^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi \text{ см}^2. \] Площадь кольца (области с радиусом от 6 до 8 см): \[ S_{\text{кольца}} = \pi R_{\text{наружный}}^2 - \pi R_{\text{внутренний}}^2 = \pi \times 8^2 - \pi \times 6^2 = \pi (64 - 36) = 28\pi \text{ см}^2. \] ### Итоговая вероятность: \[ P = \frac{S_{\text{кольца}}}{S_{\text{общий}}} = \frac{28\pi}{64\pi} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{7}{16} \approx 0,4375 } \] Т.е. вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей стороны круга будет меньше 2 см, равна \( \frac{7}{16} \) или примерно **43,75%**.