В круг радиусом 8 см бросают точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны круга будет меньше 2 см?

Давайте разберем задачу пошагово.

Задача: В круг радиусом 8 см бросают точку внутри него. Нужно найти вероятность того, что расстояние от выбранной точки до ближайшей стороны круга будет меньше 2 см.

Шаг 1. Понимание задачи

• У нас есть круг радиусом R = 8 см.
• Точку выбирают случайно внутри этого круга (равномерно).
• Требуется определить вероятность того, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны круга меньше 2 см.

Шаг 2. Что означает "расстояние до стороны" и "меньше 2 см"?

• Расстояние от точки внутри круга до его границы — это расстояние от этой точки до окружности.
• Нас интересует области внутри круга, в которых расстояние до границы < 2 см.
  То есть — области, где точка находится в пределах 2 см от окружности.

Шаг 3. Визуализация и геометрия

• Радиус круга R = 8 см.
• Чтобы расстояние от точки до границы было меньше 2 см, точка должна находиться внутри параллельной окружности, которая находится внутри исходного круга и отстоит не более 2 см от границы.
• Эта внутренняя окружность — радиусом R - 2 = 6 см, расположенная внутри исходного круга.

\(\boxed{\text{Область, где расстояние до границы} < 2 \text{ см}}\), — это вся область, находящаяся в радиусе 6 см от центра круга.**

• Иными словами, если точка находится внутри меньшего круга радиуса 6 см, то расстояние до границы больше 2 см.
• Если точка находится в области между радиусами 6 и 8 см, то расстояние до границы — менее 2 см.

Шаг 4. Определение интересующей области

• Область "расстояние < 2 см" — это внешняя часть круга, радиусом от 6 до 8 см.

То есть, интересующая нас область — это кольцо с внутренним радиусом 6 см и наружным радиусом 8 см.

Шаг 5. Подсчет вероятности

• Вероятность равна отношению площади интересующей области к общей площади круга.

Общая площадь круга:

\[ S_{\text{общий}} = \pi R^2 = \pi \times 8^2 = 64\pi \text{ см}^2. \]

Площадь кольца (области с радиусом от 6 до 8 см):

\[ S_{\text{кольца}} = \pi R_{\text{наружный}}^2 - \pi R_{\text{внутренний}}^2 = \pi \times 8^2 - \pi \times 6^2 = \pi (64 - 36) = 28\pi \text{ см}^2. \]

Итоговая вероятность:

\[ P = \frac{S_{\text{кольца}}}{S_{\text{общий}}} = \frac{28\pi}{64\pi} = \frac{28}{64} = \frac{7}{16}. \]

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{7}{16} \approx 0,4375 } \]

Т.е. вероятность того, что расстояние от случайно выбранной точки до ближайшей стороны круга будет меньше 2 см, равна \( \frac{7}{16} \) или примерно 43,75%.