Найти sin t если cos t =-3√12/14

Давайте подробно разберём задачу: нужно найти \(\sin t\), если \(\cos t = -\frac{3\sqrt{12}}{14}\) и \(t\) лежит в интервале \(-\frac{3\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2}\). ### Шаг 1. Упростим выражение для \(\cos t\) \[ \cos t = -\frac{3\sqrt{12}}{14} \] Обозначим \(\sqrt{12}\): \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] Тогда: \[ \cos t = -\frac{3 \times 2\sqrt{3}}{14} = -\frac{6\sqrt{3}}{14} \] Упростим дробь: \[ \cos t = -\frac{3\sqrt{3}}{7} \] Теперь у нас: \[ \cos t = -\frac{3\sqrt{3}}{7} \] ### Шаг 2. Используем тригонометрическое тождество Для нахождения \(\sin t\) используем: \[ \sin^2 t + \cos^2 t = 1 \] Отсюда: \[ \sin^2 t = 1 - \cos^2 t \] Подставим значение \(\cos t\): \[ \sin^2 t = 1 - \left(-\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)^2 \] Вычислим квадрат: \[ \sin^2 t = 1 - \left(\frac{3\sqrt{3}}{7}\right)^2 \] \[ \sin^2 t = 1 - \frac{(3)^2 (\sqrt{3})^2}{7^2} = 1 - \frac{9 \times 3}{49} \] Поскольку \((\sqrt{3})^2 = 3\): \[ \sin^2 t = 1 - \frac{27}{49} \] Переведем 1 в дробь с одинаковым знаменателем: \[ \sin^2 t = \frac{49}{49} - \frac{27}{49} = \frac{22}{49} \] ### Шаг 3. Найдём \(\sin t\) \[ \sin t = \pm \sqrt{\frac{22}{49}} = \pm \frac{\sqrt{22}}{7} \] ### Шаг 4. Определим знак \(\sin t\) Нам нужно учесть интервал: \[ -\frac{3\pi}{2} < t < \frac{3\pi}{2} \] и значение \(\cos t\): \[ \cos t = -\frac{3\sqrt{3}}{7} \approx -0,746 \] Это отрицательное значение, что означает, что \(\cos t\) больше 0 только в II и III квадрантах, а отрицательное — в III и IV квадрантах. Посмотрим, где находится \(t\), учитывая интервал. - Интервал: \(-\frac{3\pi}{2} \approx -4.712\) до \(\frac{3\pi}{2} \approx 4.712\). - Значение \(\cos t\) отрицательное, значит, \(t\) находится в III или IV квадранте. В III квадранте (\(\pi < t < \frac{3\pi}{2}\)) и IV квадранте (\(\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi\)), а также в некоторых частях, если учитывать отрицательные значения. Поскольку \(\cos t\) отрицательное, и в интервале — это либо III, либо IV квадрант. - В III квадранте (\(\pi < t < \frac{3\pi}{2}\)), \(\sin t\) отрицательное. - В IV квадранте (\(\frac{3\pi}{2} < t < 2\pi\)), \(\sin t\) отрицательное. - В отрицательном направлении (от 0 к -\(\pi\)), \(\sin t\) в III квадранте тоже отрицательное. Поскольку \(\boxed{\cos t < 0}\). Итак, \(\sin t\) отрицательное, следовательно: \[ \sin t = - \frac{\sqrt{22}}{7} \] ### Итог: \[ \boxed{ \sin t = -\frac{\sqrt{22}}{7} } \] Если потребуется дополнительно, можно указать, что \(t\) находится в III или IV квадранте.