Давайте подробно разберём задачу и найдём решение шаг за шагом.

Дано:

• \(p > 2024\) — натуральное число.
• На доске написаны все натуральные числа от 2024 до \(p\) включительно.
• Операция: взять два наибольших числа на доске, заменить их на их разность.
• Повторять операции, пока на доске не останется одно число.
• Вопрос: для каких значений \(p < 10000\) результат в конце будет равен 0?

---

Шаг 1: Что происходит при операции

На доске есть множество чисел \( \{2024, 2025, \dots, p\} \).

• В chaque шаг мы берём два наибольших числа: пусть это \(a\) и \(b\), где \(a \geq b\).
• Заменяем их на \(a - b\).
• В результате у нас всё равно остаётся набор чисел, рассматриваемых при повторных операциях.

Эта операция — аналог операции нахождения группового НОД с помощью вычитания, знакомая из алгоритма Евклида.

---

Шаг 2: Связь с НОД

Важно понять, что результат выполнения этих вычитаний — это либо 0, либо \(\gcd\) исходных чисел. Когда на доске остаётся один элемент, это — их общий делитель (или 0).

• Эта операция моделирует приведение множества к их наибольшему общему делителю.

Итак, ключевое утверждение:

После многих шагов, когда остаётся одно число, это число — \(\gcd\ всех исходных чисел.\)

---

Шаг 3: Нумерация исходного множества

Множество чисел: \(\{2024, 2025, \dots, p\}\).

• Их \(\gcd\) равен \(\gcd(2024, 2025, \dots, p)\).

Обратите внимание:

\[ \gcd(2024, 2025, \dots, p) = \gcd(\gcd(2024, 2025, \dots, p)) \]

• Если среди этих чисел есть число, делитель всех — это делитель всех чисел, входящих в это множество.

---

Шаг 4: Когда результат равен 0?

Для того, чтобы итоговое число было равно 0, нужно, чтобы \(\gcd\) исходных чисел было равно 1, ведь:

• \(\gcd\) равен 1 — в итоге получится 1 или 0, и в конце, поскольку исходный набор включает 2024 и больше, минимально возможное итоговое число после таких операций — 1.
• Однако, в операции, которая берёт два числа и заменяет их на разность, мы можем добиться результата 0 только если \(\gcd\) исходных чисел делит все числа и, возможно, делит их и по-другому, но при этом, в случае \(\gcd =1\), мы обязательно получим 1 или 0 в конце.

Расскроем подробнее:

Если \(\gcd(2024, 2025, \dots, p)=d > 1\), то все числа делиться на \(d\). Тогда результат операции не может стать 0, а конечный остаток будет равен \(d\), а не 0.

Поэтому:

• Для получения 0 в конце, необходимо, чтобы \(\gcd(2024, 2025, \dots, p) = 1\).

---

Шаг 5: Вывод

Ответ:
Все такие \(p\), при которых \(\gcd(2024, 2025, \dots, p) = 1\).

---

Шаг 6: Когда \(\gcd\) чисел равен 1?

Групповой \(\gcd\) множества \(\{2024, 2025, \dots, p\}\):

• Равно 1 тогда и только тогда, когда существует хотя бы одно число, не делящееся на какое-либо простое число, присутствующее в этом диапазоне.

Самое главное — понять, когда \(\gcd(2024, \dots, p) = 1\).

Значит, нас интересуют такие \(p\), для которых большинство чисел в диапазоне особенно не делятся на один и тот же простой делитель.

---

Шаг 7: Разбор через простые делители

Группа чисел \(\{2024, 2025, \dots, p\}\).

• \(\gcd\) равен Not 1, если все числа делятся на один и тот же простой делитель \(q\).

• Тогда, чтобы \(\gcd\) был равен 1, должен отсутствовать такой \(q\), который делит все числа.

---

Шаг 8: Когда \(\gcd\) не равен 1?

Если \(\gд\) не равен 1, значит:

• Все числа в диапазоне делятся на некоторый простой делитель \(q\).

Поскольку числа идут по порядку, давайте обратим внимание на то, что число 2024 делится на его простые делители или нет.

---

Шаг 9: Разложение 2024

Разложим 2024 на простые множители:

\[ 2024 = 2^3 \times 11 \times 23 \]

Проверим делимость:

• 2024 делится на 2.
• Также 2024 делится на 11 и 23, поскольку это его простые делители.

Важно:

Условие, чтобы все компоненты в диапазоне делились на \(q\), выполнимо только если \(q\) делит 2024 и остальные числа в диапазоне.

---

Шаг 10: Обобщение

Для \(\gcd(2024, 2025, \dots, p) \neq 1\), необходимо существование простого делителя \(q\), такого что:

• \(q\) делит все числа в диапазоне \([2024, p]\).

Аналогично:

• \(q\) должно делить \(2024\),
• и каждое число после 2024 также должно делиться на \(q\), то есть каждое число вида \(2024 + k\), где \(0 \leq k \leq p-2024\).

Если \(q\) делит 2024, то оно может делить весь диапазон, если все числа, начиная с 2024, делятся на \(q\). Значит:

• последние числа \(p\) должны в свою очередь делиться на \(q\).

---

Итог:

Чтобы \(\gcd\) не было равно 1:

• \(q\) — простой делитель 2024 (то есть 2, 11 или 23),
• и всё число в диапазоне \([2024, p]\) делятся на \(q\).

---

Шаг 11: Проверка исключений для каждого делителя

Рассмотрим делители 2024:

• \(q=2\):
  Все числа делятся на 2, если и только если \(p \geq 2024\) и все числа с 2024 до \(p\) — чётные. В таком случае, чтобы всё было делимо на 2, особенно важно:

\[ p \leq \text{последнее чётное число до } p, \]

Но если \(2024\) — чётное, то все числа между 2024 и \(p\) — чётные, только если \(p\) тоже чётное.

• Аналогично для делителей 11 и 23.

Но для \(\gcd = 1\):

• эти диапазоны не должны содержать только числа, делимые на 2, 11 или 23.

Рассмотрим наоборот: если диапазон содержит хотя бы одно число, которое не делится на 2, 11 или 23, то \(\gcd\) станет 1.

---

Итоговая формула:

• \(\gcd(2024, \dots, p) = 1\), если существует хотя бы одно число в диапазоне, не делящееся ни на один из делителей 2024 (глубже — 2, 11, 23).

Это означает, что:

Для \(\gcd \neq 1\):

• все числа в диапазоне делятся на один из простых делителей 2024, то есть, все числа делятся на \(q \in \{2, 11, 23\}\).

---

Итоговая проверка:

• \(\gcd(2024,\dots,p) = 1\), тогда и только тогда, когда диапазон включает число, не делящееся на 2, 11 или 23.

---

Заключение:

• чтобы итоговое число было 0, нужно, чтобы \(\gcd=1\),
• что происходит, когда в диапазоне есть хотя бы одно число, не делящееся ни на 2, ни на 11, ни на 23.

---

Итоговые условия:

• Иначе говоря, чтобы \(\gcd \neq 1\), все числа должны делиться на хотя бы один из делителей 2, 11, или 23 — то есть диапазон полностью состоит из чисел, делящихся на 2, или 11, или 23, начиная с 2024.

---

Итоговая формула для \(p\):

Если диапазон включает хотя бы одно число, не делящееся на 2, 11, или 23, то \(\gcd=1\), и результат — 0.

Поэтому, чтобы результат не равен нулю, весь диапазон:

• Состоял бы только из чисел, делящихся на 2, или 11, или 23.

---

Вопрос:

Для каких \(p<10000\) это возможно?

---

Вычисление:

• Наименьшее \(p\), при котором вся последовательность все числа делятся на 2 или 11 или 23

(иными словами, вся часть — числа, делящиеся на делитель).

• Первое число — 2024. Проведем разбор.

---

Проверка делимости 2024:

• 2024 делится на 2, итак, все числа, кратные 2, образуют нужный диапазон.

---

Примеры:

если \(p\) выбрано так, что все числа от 2024 до \(p\) чётные (делятся на 2), то \(\gcd \neq 1\) и результат не 0.

• Чтобы все числа делились на 2:

\[ p \text{ должно быть чётным, и } p \geq 2024. \]

• Аналогично для делимости на 11 или 23:

если все числа делятся на 11 или 23, то это сильно ограниченные диапазоны.

---

Итоговый вывод:

Для получения \(\gcd=1\), в диапазоне должна быть хотя бы одна число, не делящаяся на 2, 11 или 23.

Это гарантирует, что итоговое число — 0.

---

Ответ на задачу:

Ответ: все \(p\), такие что в диапазоне \([2024, p]\) есть хотя бы одно число, не делящееся на 2 или 11 и 23.

---

Итоговые условия для подсчёта:

• \(p\) — натуральное число, с \(p \geq 2024\),
• необходимо найти количество таких \(p\), что в диапазоне \([2024, p]\) есть хотя бы одно число, которое не делится на 2, не делится на 11, не делится на 23.

---

Последний шаг: подсчёт

• Для штрафных, меньших \(p\), когда все числа делятся на 2, результат — не 0;
• Для \(p\), начиная с такого, что хотя бы одно число не делится на эти простые делители, результат = 0.

---

Итоговая формула

Количество таких \(p\):

\[ \boxed{ \text{все } p, \quad 2024 \le p < 10000, \quad \text{и в } [2024, p]\ есть число, не делящееся на 2, 11, 23} } \]

Обратим внимание, что:

• Если есть число, не делящееся на 2, 11, 23, то это включает все числа, не делящиеся на эти делители.
• Иначе — все числа делятся хотя бы на один из них.

---

Итоговое решение:

Количество \(p\) таких, что в диапазоне есть хотя бы одно число, не делящееся на 2, 11, или 23, равно

\[ p - 2024 + 1, \]

где \(p\) — минимальное число, для которого в диапазоне \([2024, p]\) есть число, не делящееся на 2, 11, 23.

Это — все числа начиная с 2024, потому что легко найти, что есть числа, которые не делятся ни на 2, ни на 11, ни на 23 (например, 2025, 2027 и т.п.), и далее всё увеличивается.

---

Итог:

Для всех \(p\) от 2024 до 9999, где в диапазоне присутствует хотя бы одно число, не делящееся на 2, 11 и 23, результат в конце будет равен 0.

Ответ:
\[ 9999 - 2024 + 1 = 798 tentativa p \]

---

Итоговое:

Ответ: \(\boxed{798\) чисел \(p < 10000\), для которых результат равен 0.**

---

Если нужно более точное и аккуратное подсчёты или дополнительные объяснения, я буду рад помочь!