7*. Решите уравнение:х2 + x3 - 8x - 8 = 0.

Рассмотрим уравнение: \[ x^2 + x^3 - 8x - 8 = 0 \] Я перепишу его в более удобной форме: \[ x^3 + x^2 - 8x - 8 = 0 \] Теперь попробуем найти корни этого уравнения. Чаще всего для таких задач используют метод подбора рациональных корней или факторизацию. ### Шаг 1. Поиск возможных рациональных корней По теореме Виета, возможные рациональные корни — это делители свободного члена (-8) и ведущего коэффициента (1). Делители числа 8: ±1, ±2, ±4, ±8. Проверим эти значения: подставим каждое из них в уравнение. --- ### Шаг 2. Проверка возможных корней 1. \( x=1 \): \[ 1^3 + 1^2 - 8*1 - 8 = 1 + 1 - 8 - 8 = -14 \neq 0 \] 2. \( x=-1 \): \[ (-1)^3 + (-1)^2 - 8*(-1) - 8 = -1 + 1 + 8 - 8 = 0 \] Отлично! \( x = -1 \) — корень уравнения. --- ### Шаг 3. Деление многочлена Так как \( x = -1 \) — корень, можем выполнить деление многочлена на \((x + 1)\). Используем деление многочлена или схему сокращения (метод долгого деления или схемы Горнера). Запишем исходный многочлен: \[ x^3 + x^2 - 8x - 8 \] Разделим его на \((x + 1)\): **Деление многочлена по схеме Горнера:** - Начинаем с коэффициентов: 1 (для \(x^3\)), 1 (для \(x^2\)), -8 (для \(x\)), -8 (свободный член). Проводим деление по шагам: 1. Первый коэффициент — 1 — записываем. 2. Умножаем его на корень \(-1\): \(1 * -1 = -1\), прибавляем ко второму коэффициенту: \(1 + (-1) = 0\). 3. Умножаем полученный результат (0) на \(-1\), получаем 0, прибавляем к следующему коэффициенту: \(-8 + 0 = -8\). 4. Умножаем \(-8\) на \(-1\): \(-8 * -1 = 8\), прибавляем к следующему коэффициенту: \(-8 + 8 = 0\). **Результат:** Коэффициенты деления — 1, 0, -8, остаток 0. Это значит, что: \[ x^3 + x^2 - 8x - 8 = (x + 1)(x^2 - 8) \] --- ### Шаг 4. Решение второго квадратного уравнения Теперь у нас: \[ (x + 1)(x^2 - 8) = 0 \] Значит, корни исходного уравнения — это корни из этих выражений: 1. \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (уже нашли) 2. \( x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \) Решая второе уравнение: \[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \] --- ## Итоговые решения: \[ \boxed{ x = -1, \quad x = 2\sqrt{2}, \quad x = -2\sqrt{2} } \] Это все корни уравнения. Если нужна более подробная помощь — скажите!