7*. Решите уравнение:х2 + x3 - 8x - 8 = 0.
Рассмотрим уравнение:
\[ x^2 + x^3 - 8x - 8 = 0 \]
Я перепишу его в более удобной форме:
\[ x^3 + x^2 - 8x - 8 = 0 \]
Теперь попробуем найти корни этого уравнения. Чаще всего для таких задач используют метод подбора рациональных корней или факторизацию.
Шаг 1. Поиск возможных рациональных корней
По теореме Виета, возможные рациональные корни — это делители свободного члена (-8) и ведущего коэффициента (1).
Делители числа 8: ±1, ±2, ±4, ±8.
Проверим эти значения: подставим каждое из них в уравнение.
Шаг 2. Проверка возможных корней
- \( x=1 \):
\[ 1^3 + 1^2 - 8*1 - 8 = 1 + 1 - 8 - 8 = -14 \neq 0 \]
- \( x=-1 \):
\[ (-1)^3 + (-1)^2 - 8*(-1) - 8 = -1 + 1 + 8 - 8 = 0 \]
Отлично! \( x = -1 \) — корень уравнения.
Шаг 3. Деление многочлена
Так как \( x = -1 \) — корень, можем выполнить деление многочлена на \((x + 1)\).
Используем деление многочлена или схему сокращения (метод долгого деления или схемы Горнера).
Запишем исходный многочлен:
\[ x^3 + x^2 - 8x - 8 \]
Разделим его на \((x + 1)\):
Деление многочлена по схеме Горнера:
- Начинаем с коэффициентов: 1 (для \(x^3\)), 1 (для \(x^2\)), -8 (для \(x\)), -8 (свободный член).
Проводим деление по шагам:
- Первый коэффициент — 1 — записываем.
- Умножаем его на корень \(-1\): \(1 * -1 = -1\), прибавляем ко второму коэффициенту: \(1 + (-1) = 0\).
- Умножаем полученный результат (0) на \(-1\), получаем 0, прибавляем к следующему коэффициенту: \(-8 + 0 = -8\).
- Умножаем \(-8\) на \(-1\): \(-8 * -1 = 8\), прибавляем к следующему коэффициенту: \(-8 + 8 = 0\).
Результат:
Коэффициенты деления — 1, 0, -8, остаток 0.
Это значит, что:
\[ x^3 + x^2 - 8x - 8 = (x + 1)(x^2 - 8) \]
Шаг 4. Решение второго квадратного уравнения
Теперь у нас:
\[ (x + 1)(x^2 - 8) = 0 \]
Значит, корни исходного уравнения — это корни из этих выражений:
- \( x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1 \) (уже нашли)
- \( x^2 - 8 = 0 \Rightarrow x^2 = 8 \)
Решая второе уравнение:
\[ x = \pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2} \]
Итоговые решения:
\[ \boxed{ x = -1, \quad x = 2\sqrt{2}, \quad x = -2\sqrt{2} } \]
Это все корни уравнения.
Если нужна более подробная помощь — скажите!
