При каких отрицательных значениях k прямая y=kx+5 имеет с параболой y=x^2-4x+14 единственную общую точку (касается)?

Рассмотрим задачу: при каких отрицательных значениях \(k\) прямая \( y = kx + 5 \) касается параболы \( y = x^2 - 4x + 14 \), то есть имеет с ней ровно одну общую точку.

Шаг 1. Запишем уравнения и условие касания

• Прямая: \( y = kx + 5 \)
• Парабола: \( y = x^2 - 4x + 14 \)

Чтобы найти точки пересечения, приравняем их правые части:

\[ k x + 5 = x^2 - 4x + 14 \] или, перенесем все в левую часть:

\[ x^2 - 4x - kx + 14 - 5 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 - (4 + k) x + 9 = 0 \]

Это квадратичное уравнение по переменной \(x\).

Шаг 2. Условие касания

Когда прямая касается параболы, у них ровно одна gemeinsame точка. Значит, дискриминант у этого квадратичного уравнения равен нулю:

\[ D = 0 \]

Для уравнения:

\[ x^2 - (4 + k) x + 9 = 0 \] дискриминант:

\[ D = [-(4 + k)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (4 + k)^2 - 36 \]

Условие касания:

\[ (4 + k)^2 - 36 = 0 \]

Шаг 3. Решение уравнения дискриминанта

Решим полученное уравнение:

\[ (4 + k)^2 = 36 \]

Варианты:

\[ 4 + k = \pm 6 \]

Отсюда получаем два варианта:

1. \( 4 + k = 6 \Rightarrow k = 2 \)
2. \( 4 + k = -6 \Rightarrow k = -10 \)

Шаг 4. Учитываем условие \(k < 0\)

Требование: \(k\) — отрицательное значение.

Из двух найденных вариантов:

• \(k = 2\) — неотрицательное, пропускаем.
• \(k = -10\) — отрицательное — подходит.

Ответ:

При \(k = -10\), прямая \( y = -10x + 5 \) касается параболы \( y = x^2 - 4x + 14 \).

Если есть необходимость, могу помочь с проверкой. Хотите проверить, что в этом случае уравнение действительно имеет ровно одну точку пересечения?