Рассмотрим задачу: при каких отрицательных значениях (k) прямая ( y = kx + 5 ) касается параболы ( y = x^2 - 4x + 14 ), то есть имеет с ней ровно одну общую точку.
Шаг 1. Запишем уравнения и условие касания
- Прямая: ( y = kx + 5 )
- Парабола: ( y = x^2 - 4x + 14 )
Чтобы найти точки пересечения, приравняем их правые части:
[
k x + 5 = x^2 - 4x + 14
]
или, перенесем все в левую часть:
[
x^2 - 4x - kx + 14 - 5 = 0
]
Упростим:
[
x^2 - (4 + k) x + 9 = 0
]
Это квадратичное уравнение по переменной (x).
Шаг 2. Условие касания
Когда прямая касается параболы, у них ровно одна gemeinsame точка. Значит, дискриминант у этого квадратичного уравнения равен нулю:
[
D = 0
]
Для уравнения:
[
x^2 - (4 + k) x + 9 = 0
]
дискриминант:
[
D = [-(4 + k)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = (4 + k)^2 - 36
]
Условие касания:
[
(4 + k)^2 - 36 = 0
]
Шаг 3. Решение уравнения дискриминанта
Решим полученное уравнение:
[
(4 + k)^2 = 36
]
Варианты:
[
4 + k = \pm 6
]
Отсюда получаем два варианта:
- ( 4 + k = 6 \Rightarrow k = 2 )
- ( 4 + k = -6 \Rightarrow k = -10 )
Шаг 4. Учитываем условие (k < 0)
Требование: (k) — отрицательное значение.
Из двух найденных вариантов:
- (k = 2) — неотрицательное, пропускаем.
- (k = -10) — отрицательное — подходит.
Ответ:
При (k = -10), прямая ( y = -10x + 5 ) касается параболы ( y = x^2 - 4x + 14 ).
Если есть необходимость, могу помочь с проверкой. Хотите проверить, что в этом случае уравнение действительно имеет ровно одну точку пересечения?
