Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры - тройка и три двойки (в любом порядке).

Рассмотрим задачу: нужно найти вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры содержат три двойки и одну тройку, расположенные в любом порядке. --- ### Шаг 1. Общее количество возможных семизначных номеров - Первая цифра не может быть равна 0 (иначе номер будет меньше 7 цифр), следовательно: - Первая цифра: 1–9 (9 вариантов) - Каждая из оставшихся шести цифр: 0–9 (10 вариантов) Общее количество номеров: \[ N_{\text{общее}} = 9 \times 10^6 \] --- ### Шаг 2. Количество номеров, соответствующих условию для последних 4 цифр - Последние 4 цифры должны содержать **три двойки** и **одну тройку** в любом порядке. #### 2.1. Количество способов выбрать позиции для тройки - В 4 позициях нужно выбрать, где будет расположена тройка: \[ \binom{4}{1} = 4 \] - То есть есть 4 варианта расположения тройки среди последних 4 цифр, а остальные три позиции займут двойки. #### 2.2. Количество вариантов для последних 4 цифр - Перестановки: ставим тройку в одну из 4 позиций, остальные 3 — двойки: Итого: \[ 4 \] - Для каждого варианта последние 4 цифры фиксированы как: одна тройка + три двойки. --- ### Шаг 3. Количество вариантов для первых 3 цифр - Первая цифра: от 1 до 9 (иначе номер не семизначный). - Важный момент: первые 3 цифры не ограничены по условию, их количество — \( 9 \times 10 \times 10 = 900 \). - Остальные две цифры (5-й и 6-й): могут быть любыми (от 0 до 9), - их количество: \( 10 \times 10 = 100 \). ### Итог для первых 3 цифр: \[ 900 \times 100 = 90\,000 \] --- ### Шаг 4. Общее количество номеров, удовлетворяющих условию Общее число варианта: умножаем число способов выбрать последние 4 цифры на число вариантов первых 3 цифр: \[ N_{\text{условия}} = 90\,000 \times 4 = 360\,000 \] --- ### Шаг 5. Вероятность Вероятность равна отношению количества подходящих номеров к общему количеству возможных: \[ P = \frac{N_{\text{условия}}}{N_{\text{общее}}} = \frac{360\,000}{9\,000\,000} = \frac{36}{900} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} \] --- ## Итог: \[ \boxed{ \text{Ответ:} \quad \frac{1}{25} } \] Вероятность того, что в случайно выбранном семизначном номере последние четыре цифры содержат три двойки и одну тройку в любом порядке, равна **1/25**.