Найдите вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры - тройка и три двойки (в любом порядке).

Рассмотрим задачу: нужно найти вероятность того, что в случайно выбранном семизначном телефонном номере последние четыре цифры содержат три двойки и одну тройку, расположенные в любом порядке.

Шаг 1. Общее количество возможных семизначных номеров

• Первая цифра не может быть равна 0 (иначе номер будет меньше 7 цифр), следовательно:
  • Первая цифра: 1–9 (9 вариантов)
• Каждая из оставшихся шести цифр: 0–9 (10 вариантов)

Общее количество номеров: \[ N_{\text{общее}} = 9 \times 10^6 \]

Шаг 2. Количество номеров, соответствующих условию для последних 4 цифр

• Последние 4 цифры должны содержать три двойки и одну тройку в любом порядке.

2.1. Количество способов выбрать позиции для тройки

• В 4 позициях нужно выбрать, где будет расположена тройка: \[ \binom{4}{1} = 4 \]

• То есть есть 4 варианта расположения тройки среди последних 4 цифр, а остальные три позиции займут двойки.

2.2. Количество вариантов для последних 4 цифр

• Перестановки: ставим тройку в одну из 4 позиций, остальные 3 — двойки:

Итого: \[ 4 \]

• Для каждого варианта последние 4 цифры фиксированы как: одна тройка + три двойки.

Шаг 3. Количество вариантов для первых 3 цифр

• Первая цифра: от 1 до 9 (иначе номер не семизначный).

  • Важный момент: первые 3 цифры не ограничены по условию, их количество — \( 9 \times 10 \times 10 = 900 \).

• Остальные две цифры (5-й и 6-й): могут быть любыми (от 0 до 9),

  • их количество: \( 10 \times 10 = 100 \).

Итог для первых 3 цифр:

\[ 900 \times 100 = 90\,000 \]

Шаг 4. Общее количество номеров, удовлетворяющих условию

Общее число варианта: умножаем число способов выбрать последние 4 цифры на число вариантов первых 3 цифр:

\[ N_{\text{условия}} = 90\,000 \times 4 = 360\,000 \]

Шаг 5. Вероятность

Вероятность равна отношению количества подходящих номеров к общему количеству возможных:

\[ P = \frac{N_{\text{условия}}}{N_{\text{общее}}} = \frac{360\,000}{9\,000\,000} = \frac{36}{900} = \frac{2}{50} = \frac{1}{25} \]

Итог:

\[ \boxed{ \text{Ответ:} \quad \frac{1}{25} } \]

Вероятность того, что в случайно выбранном семизначном номере последние четыре цифры содержат три двойки и одну тройку в любом порядке, равна 1/25.