Давайте подробно разберем задачу:
Задача:
Сколькими способами можно расставить 4 разные фигуры на шахматной доске?
И найти вероятность того, что эти 4 фигуры окажутся на клетках A1, A2, A3 и A4.
1. Общий случай: количество способов расставить 4 разные фигуры на доске
Всего на шахматной доске 64 клетки.
- Нужно выбрать 4 клетки из 64, куда поставим фигуры.
- Каждая из 4 фигур — разная, поэтому порядок важен.
Шаг 1: Выбираем 4 клетки из 64.
Количество способов выбрать 4 клетки (без учета порядка):
[
\binom{64}{4}
]
Шаг 2: Расставить 4 разные фигуры на выбранные клетки.
Количество способов — перестановка 4 фигур на 4 клетки:
[
4! = 24
]
Общее количество способов расстановки:
[
\text{Общее} = \binom{64}{4} \times 4!
]
2. Количество способов разместить фигуры именно на клетках A1, A2, A3 и A4
В этом случае все 4 фигуры должны оказаться на конкретных клетках:
Поскольку фигуры разные, их можно расставить на эти 4 клетки в любом порядке:
[
4! = 24
]
То есть, существует 24 способа разместить 4 разные фигуры на этих 4 конкретных клетках.
3. Искомая вероятность
Вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к общему количеству всех возможных исходов:
[
P = \frac{\text{число расстановок на клетках A1, A2, A3, A4}}{\text{общее число всех расстановок}}
]
Подставим полученные значения:
[
P = \frac{24}{\binom{64}{4} \times 24} = \frac{1}{\binom{64}{4}}
]
Упростим:
[
\boxed{
P = \frac{1}{\binom{64}{4}}
}
]
Итоговые вычисления:
[
\binom{64}{4} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{24}
]
Вычислим числитель:
- (64 \times 63 = 4032)
- (4032 \times 62 = 249,984)
- (249,984 \times 61 = 15,249,024)
Делим на 24:
[
\frac{15,249,024}{24} = 635,376
]
Следовательно,
[
\boxed{
P = \frac{1}{635,376}
}
]
Ответ:
- Общее количество способов расставить 4 разные фигуры — (\binom{64}{4} \times 4! = 635,376 \times 24).
- Вероятность, что фигуры окажутся на клетках A1, A2, A3 и A4 — (\frac{1}{635,376}).
