Сколькими способами можно расставить на шахматной доске 4 разные фигуры? Найдите вероятность того, что 4 разные фигуры будут стоять на клетках A1, A2, А3, А4.
Давайте подробно разберем задачу:
Задача:
Сколькими способами можно расставить 4 разные фигуры на шахматной доске?
И найти вероятность того, что эти 4 фигуры окажутся на клетках A1, A2, A3 и A4.
1. Общий случай: количество способов расставить 4 разные фигуры на доске
Всего на шахматной доске 64 клетки.
- Нужно выбрать 4 клетки из 64, куда поставим фигуры.
- Каждая из 4 фигур — разная, поэтому порядок важен.
Шаг 1: Выбираем 4 клетки из 64.
Количество способов выбрать 4 клетки (без учета порядка):
\[
\binom{64}{4}
\]
Шаг 2: Расставить 4 разные фигуры на выбранные клетки.
Количество способов — перестановка 4 фигур на 4 клетки:
\[
4! = 24
\]
Общее количество способов расстановки:
\[
\text{Общее} = \binom{64}{4} \times 4!
\]
2. Количество способов разместить фигуры именно на клетках A1, A2, A3 и A4
В этом случае все 4 фигуры должны оказаться на конкретных клетках:
- A1
- A2
- A3
- A4
Поскольку фигуры разные, их можно расставить на эти 4 клетки в любом порядке:
\[ 4! = 24 \]
То есть, существует 24 способа разместить 4 разные фигуры на этих 4 конкретных клетках.
3. Искомая вероятность
Вероятность — это отношение числа благоприятных исходов к общему количеству всех возможных исходов:
\[ P = \frac{\text{число расстановок на клетках A1, A2, A3, A4}}{\text{общее число всех расстановок}} \]
Подставим полученные значения:
\[ P = \frac{24}{\binom{64}{4} \times 24} = \frac{1}{\binom{64}{4}} \]
Упростим:
\[ \boxed{ P = \frac{1}{\binom{64}{4}} } \]
Итоговые вычисления:
\[ \binom{64}{4} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{64 \times 63 \times 62 \times 61}{24} \]
Вычислим числитель:
- \(64 \times 63 = 4032\)
- \(4032 \times 62 = 249,984\)
- \(249,984 \times 61 = 15,249,024\)
Делим на 24:
\[ \frac{15,249,024}{24} = 635,376 \]
Следовательно,
\[ \boxed{ P = \frac{1}{635,376} } \]
Ответ:
- Общее количество способов расставить 4 разные фигуры — \(\binom{64}{4} \times 4! = 635,376 \times 24\).
- Вероятность, что фигуры окажутся на клетках A1, A2, A3 и A4 — \(\frac{1}{635,376}\).
