В параллелограмм с периметром 48 см и острым углом 30° вписана окружность. найдите диаметр этой окружности
Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Параллелограмм с периметром \( P = 48 \) см
- Острый угол при вершине равен \( 30^\circ \)
- В параллелограмм вписана окружность
Найти: диаметр вписанной окружности \( d \)
Шаг 1. Что означает вписанная окружность в параллелограмм?
Если в параллелограмм вписана окружность, то он является трапециевидным или круглым, и тогда сумма левых сторон равна сумме правых сторон.
Конкретно — в параллелограмме вписана окружность тогда, когда сумма длин двух противоположных сторон равна.
Но для параллелограмма только квадрат или ромб могут иметь вписанную окружность.
Следовательно, в нашем случае — это ромб, потому что:
- Вписанная окружность есть только у параллелограмма, у которого все равнобедренные стороны, то есть ромба.
Итак:
- Параллелограмм — это ромб, потому что в него вписана окружность.
- В ромбе все стороны равны: \( a \)
Шаг 2. Найдём сторону ромба
Периметр:
\[
P = 48\, \text{см}
\]
Всего 4 стороны:
\[
4a = 48 \Rightarrow a = 12\, \text{см}
\]
Значит, сторона ромба равна 12 см.
Шаг 3. Связь углов и сторон в ромбе
Дано, что острый угол равен \(30^\circ\).
В ромбе сумма углов, прилегающих на одну сторону, равна \(180^\circ\):
\[
\text{Другой угол} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ
\]
Шаг 4. Радиус вписанной окружности
Радиус \( r \) вписанной окружности в ромб связан с его радиусом вписанной окружности и храмом.
В ромбе, как в многоугольнике с вписанной окружностью, радиус \( r \) связан с удвоенной высотой.
Но проще всего — найти радиус по формуле:
\[ r = \frac{A}{p} \] где \(A\) — площадь, а \(p\) — полупериметр (в нашем случае — полная периметр делён на 2).
Для правильного ромба площадь:
\[ A = a^2 \sin \theta \] где \( \theta \) — угол между сторонами.
Подставим числа: \[ A = 12^2 \times \sin 30^\circ = 144 \times 0.5 = 72\, \text{см}^2 \]
Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{48}{2} = 24\, \text{см} \]
Площадь ромба также связана с радиусом вписанной окружности \(r\) по формуле:
\[ A = r \times P \] но в данном случае — неверно для окружности внутри ромба.
Шаг 5. Радиус вписанной окружности
Во вписанном окружности ромба радиус \( r \) также равен:
\[ r = \frac{A}{\text{периметр}/2} = \frac{72}{24} = 3\, \text{см} \]
То есть радиус вписанной окружности составляет 3 см.
Шаг 6. Диаметр окружности
Диаметр \( d \) — это просто удвоенный радиус:
\[ d = 2r = 2 \times 3 = 6\, \text{см} \]
Итог:
Ответ: диаметр вписанной окружности равен 6 см.
Если нужно более подробное объяснение конкретных шагов или есть другие вопросы — с удовольствием помогу!
