В параллелограмм с периметром 48 см и острым углом 30° вписана окружность. найдите диаметр этой окружности

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Параллелограмм с периметром \( P = 48 \) см - Острый угол при вершине равен \( 30^\circ \) - В параллелограмм вписана окружность **Найти:** диаметр вписанной окружности \( d \) --- ### Шаг 1. Что означает вписанная окружность в параллелограмм? Если в параллелограмм вписана окружность, то он является **трапециевидным** или **круглым**, и тогда сумма левых сторон равна сумме правых сторон. Конкретно — в параллелограмме вписана окружность тогда, когда сумма длин двух противоположных сторон равна. Но для параллелограмма только квадрат или ромб могут иметь вписанную окружность. **Следовательно,** в нашем случае — это ромб, потому что: - Вписанная окружность есть только у параллелограмма, у которого все равнобедренные стороны, то есть ромба. Итак: - Параллелограмм — это ромб, потому что в него вписана окружность. - В ромбе все стороны равны: \( a \) --- ### Шаг 2. Найдём сторону ромба Периметр: \[ P = 48\, \text{см} \] Всего 4 стороны: \[ 4a = 48 \Rightarrow a = 12\, \text{см} \] Значит, сторона ромба равна 12 см. --- ### Шаг 3. Связь углов и сторон в ромбе Дано, что острый угол равен \(30^\circ\). В ромбе сумма углов, прилегающих на одну сторону, равна \(180^\circ\): \[ \text{Другой угол} = 180^\circ - 30^\circ = 150^\circ \] --- ### Шаг 4. Радиус вписанной окружности Радиус \( r \) вписанной окружности в ромб связан с его радиусом вписанной окружности и храмом. В ромбе, как в многоугольнике с вписанной окружностью, радиус \( r \) связан с удвоенной высотой. Но проще всего — найти радиус по формуле: \[ r = \frac{A}{p} \] где \(A\) — площадь, а \(p\) — полупериметр (в нашем случае — полная периметр делён на 2). Для правильного ромба площадь: \[ A = a^2 \sin \theta \] где \( \theta \) — угол между сторонами. Подставим числа: \[ A = 12^2 \times \sin 30^\circ = 144 \times 0.5 = 72\, \text{см}^2 \] Полупериметр \( p \): \[ p = \frac{48}{2} = 24\, \text{см} \] Площадь ромба также связана с радиусом вписанной окружности \(r\) по формуле: \[ A = r \times P \] но в данном случае — неверно для окружности внутри ромба. --- ### Шаг 5. Радиус вписанной окружности Во вписанном окружности ромба радиус \( r \) также равен: \[ r = \frac{A}{\text{периметр}/2} = \frac{72}{24} = 3\, \text{см} \] То есть радиус вписанной окружности составляет 3 см. --- ### Шаг 6. Диаметр окружности Диаметр \( d \) — это просто удвоенный радиус: \[ d = 2r = 2 \times 3 = 6\, \text{см} \] --- ## Итог: **Ответ:** диаметр вписанной окружности равен **6 см**. Если нужно более подробное объяснение конкретных шагов или есть другие вопросы — с удовольствием помогу!