Найти знаменатель геометрической прогрессии и сумму первых пяти членов, если b_{6} = 4 b_{4} = 36
Давайте по шагам решим задачу. Задача говорит:
Найти знаменатель геометрической прогрессии (обозначим его как q) и сумму первых пяти членов, если \(b_6 = 4\) и \(b_4 = 36\).
Шаг 1: Запишем известные данные и обозначения
- \(b_4 = 36\)
- \(b_6 = 4b_4\)
Известно, что \(b_4 = 36\).
Также \(b_6 = 4 \times 36 = 144\).
Обозначим первый член прогрессии как \(b_1 = a\), а знаменатель — как \(q\).
Тогда любой член прогрессии можно выразить через первый:
\[b_n = a \times q^{n-1}\]
Шаг 2: Запишем выражения для \(b_4\) и \(b_6\)
\[ b_4 = a \times q^{3} = 36 \] \[ b_6 = a \times q^{5} = 144 \]
Шаг 3: Найдём \(q\)
Поделим уравнение для \(b_6\) на уравнение для \(b_4\):
\[ \frac{a \times q^{5}}{a \times q^{3}} = \frac{144}{36} \]
Что упрощается до:
\[ q^{2} = 4 \]
Отсюда:
\[ q = \pm 2 \]
(так как это геометрическая прогрессия, и при этом нам нужны реальные значения, возьмем оба варианта)
Шаг 4: Найдём \(a\), используя \(b_4=36\):
\[ 36 = a \times q^{3} \]
- Для \(q=2\):
\[ 36 = a \times 2^{3} = a \times 8 \] \[ a = \frac{36}{8} = \frac{9}{2} = 4.5 \]
- Для \(q=-2\):
\[ 36 = a \times (-2)^{3} = a \times (-8) \] \[ a = \frac{36}{-8} = -\frac{9}{2} = -4.5 \]
Итог по \(q\):
- Первый вариант: \(a=4.5\), \(q=2\)
- Второй вариант: \(a=-4.5\), \(q=-2\)
Шаг 5: Найдём сумму первых пяти членов
Формула суммы первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = a \times \frac{q^{n} - 1}{q - 1} \]
Для \(n=5\):
\[ S_5 = a \times \frac{q^{5} - 1}{q - 1} \]
Рассчитаем для каждого варианта:
Вариант 1: \(a=4.5, q=2\)
\[ S_5 = 4.5 \times \frac{2^{5} - 1}{2 - 1} = 4.5 \times \frac{32 - 1}{1} = 4.5 \times 31 = 139.5 \]
Вариант 2: \(a=-4.5, q=-2\)
\[ S_5 = -4.5 \times \frac{(-2)^{5} - 1}{-2 - 1} \]
Поскольку \((-2)^5 = -32\):
\[ S_5 = -4.5 \times \frac{-32 - 1}{-3} = -4.5 \times \frac{-33}{-3} \]
Обратите внимание: делитель \(-3\).
\[ S_5 = -4.5 \times \frac{-33}{-3} = -4.5 \times 11 = -49.5 \]
Итог:
- Знаменатель прогрессии \(q\): \(\boxed{\pm 2}\)
- Сумма первых пяти членов:
- при \(q=2\): \(\boxed{139.5}\)
- при \(q=-2\): \(\boxed{-49.5}\)
Если нужно выбрать конкретное решение, то обычно берут положительный знаменатель (\(q=2\)), так как это более типичный случай.
Если есть дополнительные уточнения или нужно решение под конкретный случай, сообщите!
