Давайте обозначим:
- ( v_2 ) — скорость второго автомобиля (км/ч)
- ( v_1 ) — скорость первого автомобиля (км/ч)
Из условия известно, что:
- ( v_1 = v_2 + 10 ) (скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго)
- Дистанция между городами — 560 км
- Первый приедет на 1 час раньше второго
Обозначим время, за которое второй автомобиль доедет, как ( t_2 ) (часы). Тогда время первого автомобиля — ( t_1 = t_2 - 1 ).
Теперь запишем выражения для времени движения каждого автомобиля:
[
t_2 = \frac{560}{v_2}
]
[
t_1 = \frac{560}{v_1} = \frac{560}{v_2 + 10}
]
По условию, первый прибыл на 1 час раньше:
[
t_1 = t_2 - 1
]
Подставим выражения:
[
\frac{560}{v_2 + 10} = \frac{560}{v_2} - 1
]
Теперь решим это уравнение.
Шаг 1: Приведем уравнение к общему виду
[
\frac{560}{v_2 + 10} = \frac{560}{v_2} - 1
]
Перенесем все в левую сторону:
[
\frac{560}{v_2 + 10} - \frac{560}{v_2} = -1
]
Объединим левую сторону, найдя общий знаменатель ( v_2 (v_2 + 10) ):
[
\frac{560 v_2 - 560 (v_2 + 10)}{v_2 (v_2 + 10)} = -1
]
Раскроем числитель:
[
\frac{560 v_2 - 560 v_2 - 560 \times 10}{v_2 (v_2 + 10)} = -1
]
[
\frac{-5600}{v_2 (v_2 + 10)} = -1
]
Шаг 2: Решение уравнения
Перемножим обе части на знаменатель:
[
-5600 = -1 \times v_2 (v_2 + 10)
]
[
-5600 = - v_2 (v_2 + 10)
]
Упростим:
[
5600 = v_2 (v_2 + 10)
]
Раскроем скобки:
[
5600 = v_2^2 + 10 v_2
]
Перенесем всё в один член:
[
v_2^2 + 10 v_2 - 5600 = 0
]
Шаг 3: Решение квадратного уравнения
Уравнение:
[
v_2^2 + 10 v_2 - 5600 = 0
]
Используем формулу дискриминанта:
[
D = (10)^2 - 4 \times 1 \times (-5600) = 100 + 22400 = 22500
]
Найдем корни:
[
v_2 = \frac{-10 \pm \sqrt{22500}}{2}
]
Далее:
[
\sqrt{22500} = 150
]
Значит:
[
v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2}
]
Рассмотрим оба варианта:
- ( v_2 = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 )
- ( v_2 = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 )
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
v_2 = 70 \text{ км/ч}
]
Теперь найдем скорость первого автомобиля:
[
v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \text{ км/ч}
]
Ответ:
- Скорость второго автомобиля: 70 км/ч
- Скорость первого автомобиля: 80 км/ч
Если есть дополнительные вопросы или нужно проверить решение — обращайтесь!
