Давайте решим заданную задачу пошагово, объясняя каждое действие.
Условия задачи:
- Проведено 1100 испытаний Бернулли
- Вероятность успеха в одном испытании ( p = 0,2 )
- Нужно оценить вероятность того, что разница между числом успехов и их среднего значения меньше 40, то есть:
[
P(|X - \mathbb{E}[X]| < 40)
]
Здесь ( X )— число успешных испытаний.
Шаг 1: Определение ожидаемого значения и дисперсии
Для биномиального распределения ( X \sim \text{Bin}(n=1100, p=0.2) ):
Среднее значение (математическое ожидание):
[
\mathbb{E}[X] = np = 1100 \times 0.2 = 220
]
Дисперсия:
[
\text{Var}(X) = np(1 - p) = 1100 \times 0.2 \times 0.8 = 1100 \times 0.16 = 176
]
Стандартное отклонение:
[
\sigma = \sqrt{176} \approx 13.27
]
Шаг 2: Построение приближения с помощью нормального распределения
При большом ( n ) биномиальное распределение approximatif приближается к нормальному (по Центру Озаки). То есть,
[
X \sim N(\mu=220, \sigma^2=176)
]
Нам нужно найти:
[
P(|X - 220| < 40)
]
или, в терминах нормы:
[
P(220 - 40 < X < 220 + 40)
]
[
P(180 < X < 260)
]
Шаг 3: Стандартизация переменных
Переформулируем это выражение через стандартное нормальное распределение ( Z ):
[
Z = \frac{X - \mu}{\sigma}
]
Тогда:
[
P(180 < X < 260) = P\left(\frac{180 - 220}{13.27} < Z < \frac{260 - 220}{13.27}\right)
]
Вычисляем границы:
[
\frac{180 - 220}{13.27} = \frac{-40}{13.27} \approx -3.01
]
[
\frac{260 - 220}{13.27} = \frac{40}{13.27} \approx 3.01
]
Шаг 4: Использование таблицы стандартного нормального распределения
Найдем вероятность:
[
P(-3.01 < Z < 3.01)
]
Значения из таблицы стандартного нормального:
[
P(Z < 3.01) \approx 0.9987
]
[
P(Z < -3.01) = 1 - P(Z < 3.01) \approx 1 - 0.9987 = 0.0013
]
Следовательно:
[
P(-3.01 < Z < 3.01) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974
]
Ответ:
Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 40, примерно равна 0.9974, или 99.74%.
Если потребуется, я могу сделать более точную оценку или объяснить подробнее.
