Проведено 1100 испытаний Бернулли. 0,2 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…

Давайте решим заданную задачу пошагово, объясняя каждое действие.

Условия задачи:

• Проведено 1100 испытаний Бернулли
• Вероятность успеха в одном испытании \( p = 0,2 \)
• Нужно оценить вероятность того, что разница между числом успехов и их среднего значения меньше 40, то есть:
  \[ P(|X - \mathbb{E}[X]| < 40) \]

Здесь \( X \)— число успешных испытаний.

Шаг 1: Определение ожидаемого значения и дисперсии

Для биномиального распределения \( X \sim \text{Bin}(n=1100, p=0.2) \):

• Среднее значение (математическое ожидание):
  \[ \mathbb{E}[X] = np = 1100 \times 0.2 = 220 \]

• Дисперсия:
  \[ \text{Var}(X) = np(1 - p) = 1100 \times 0.2 \times 0.8 = 1100 \times 0.16 = 176 \]

• Стандартное отклонение:
  \[ \sigma = \sqrt{176} \approx 13.27 \]

Шаг 2: Построение приближения с помощью нормального распределения

При большом \( n \) биномиальное распределение approximatif приближается к нормальному (по Центру Озаки). То есть,
\[ X \sim N(\mu=220, \sigma^2=176) \]

Нам нужно найти:

\[ P(|X - 220| < 40) \]

или, в терминах нормы:

\[ P(220 - 40 < X < 220 + 40) \] \[ P(180 < X < 260) \]

Шаг 3: Стандартизация переменных

Переформулируем это выражение через стандартное нормальное распределение \( Z \):

\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]

Тогда:

\[ P(180 < X < 260) = P\left(\frac{180 - 220}{13.27} < Z < \frac{260 - 220}{13.27}\right) \]

Вычисляем границы:

\[ \frac{180 - 220}{13.27} = \frac{-40}{13.27} \approx -3.01 \] \[ \frac{260 - 220}{13.27} = \frac{40}{13.27} \approx 3.01 \]

Шаг 4: Использование таблицы стандартного нормального распределения

Найдем вероятность:

\[ P(-3.01 < Z < 3.01) \]

Значения из таблицы стандартного нормального:

\[ P(Z < 3.01) \approx 0.9987 \] \[ P(Z < -3.01) = 1 - P(Z < 3.01) \approx 1 - 0.9987 = 0.0013 \]

Следовательно:

\[ P(-3.01 < Z < 3.01) = 0.9987 - 0.0013 = 0.9974 \]

Ответ:

Вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 40, примерно равна 0.9974, или 99.74%.

Если потребуется, я могу сделать более точную оценку или объяснить подробнее.