Диагональ осевого сечения цилиндра равна 16/2 дм и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь. полной поверхности цилиндра.

Дано: Диагональ осевого сечения цилиндра \( d = \frac{16}{2} = 8 \) дм Угол между диагональю и плоскостью основания \(\theta = 45^\circ\) --- ### Шаг 1: Анализ осевого сечения и диагонали Осевое сечение цилиндра — это плоскость, проходящая через ось цилиндра, и образующая с основанием угол \(\theta=45^\circ\). Диагональ этого сечения — это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного радиусами и высотой. --- ### Шаг 2: Определение размеров сечения **Обозначим:** - \( R \) — радиус основания цилиндра - \( H \) — высота цилиндра Осевое сечение — это треугольник со сторонами, соответствующими радиусом \( R \), высотой \( H \), и диагональю \( d \). Диагональ осевого сечения \( d \) связывает радиус, высоту и угол: Поскольку угол между диагональю и плоскостью основания \( 45^\circ \), то: \[ \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text ey гипотенуза} \] Диагональ — это гипотенуза треугольника со сторонами \( R \) и \( H \): \[ d = \sqrt{R^2 + H^2} \] Из условия: \[ \sin 45^\circ = \frac{R}{d} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R}{8} \] Рассчитаем \( R \): \[ R = d \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \text{ дм} \] Теперь найдем \( H \) по формуле: \[ d^2 = R^2 + H^2 \] \[ 8^2 = (4 \sqrt{2})^2 + H^2 \] \[ 64 = (4^2 \times 2) + H^2 = (16 \times 2) + H^2 = 32 + H^2 \] \[ H^2 = 64 - 32 = 32 \] \[ H = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \text{ дм} \] --- ### Шаг 3: Находим площадь полной поверхности цилиндра Площадь боковой поверхности: \[ S_{бок} = 2 \pi R H \] Площадь двух оснований: \[ S_{осн} = 2 \pi R^2 \] **Подставляем значения:** \[ R = 4 \sqrt{2} \] \[ H = 4 \sqrt{2} \] --- ### Шаг 4: Расчёт - Боковая поверхность: \[ S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \times 4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} \] Обратим внимание: \[ 4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = 4 \times 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 16 \times 2 = 32 \] Значит: \[ S_{бок} = 2 \pi \times 32 = 64 \pi \] - Площадь оснований: \[ S_{осн} = 2 \pi R^2 = 2 \pi \times (4 \sqrt{2})^2 \] \[ (4 \sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \] Тогда: \[ S_{осн} = 2 \pi \times 32 = 64 \pi \] --- ### Итог: площадь полной поверхности: \[ S_{итого} = S_{бок} + S_{осн} = 64\pi + 64\pi = 128 \pi \] **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь полной поверхности цилиндра} = 128 \pi \text{ дм}^2 } \] Приблизительно (используя \(\pi \approx 3.14\)): \[ 128 \times 3.14 \approx 401.92 \text{ дм}^2 \]