Диагональ осевого сечения цилиндра равна 16/2 дм и образует с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь. полной поверхности цилиндра.
Дано:
Диагональ осевого сечения цилиндра \( d = \frac{16}{2} = 8 \) дм
Угол между диагональю и плоскостью основания \(\theta = 45^\circ\)
Шаг 1: Анализ осевого сечения и диагонали
Осевое сечение цилиндра — это плоскость, проходящая через ось цилиндра, и образующая с основанием угол \(\theta=45^\circ\).
Диагональ этого сечения — это гипотенуза прямоугольного треугольника, образованного радиусами и высотой.
Шаг 2: Определение размеров сечения
Обозначим:
- \( R \) — радиус основания цилиндра
- \( H \) — высота цилиндра
Осевое сечение — это треугольник со сторонами, соответствующими радиусом \( R \), высотой \( H \), и диагональю \( d \).
Диагональ осевого сечения \( d \) связывает радиус, высоту и угол:
Поскольку угол между диагональю и плоскостью основания \( 45^\circ \), то:
\[ \sin 45^\circ = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text ey гипотенуза} \]
Диагональ — это гипотенуза треугольника со сторонами \( R \) и \( H \):
\[ d = \sqrt{R^2 + H^2} \]
Из условия:
\[
\sin 45^\circ = \frac{R}{d} \Rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{R}{8}
\]
Рассчитаем \( R \):
\[ R = d \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 8 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 4 \sqrt{2} \text{ дм} \]
Теперь найдем \( H \) по формуле:
\[ d^2 = R^2 + H^2 \]
\[ 8^2 = (4 \sqrt{2})^2 + H^2 \]
\[ 64 = (4^2 \times 2) + H^2 = (16 \times 2) + H^2 = 32 + H^2 \]
\[ H^2 = 64 - 32 = 32 \]
\[ H = \sqrt{32} = 4 \sqrt{2} \text{ дм} \]
Шаг 3: Находим площадь полной поверхности цилиндра
Площадь боковой поверхности:
\[ S_{бок} = 2 \pi R H \]
Площадь двух оснований:
\[ S_{осн} = 2 \pi R^2 \]
Подставляем значения:
\[ R = 4 \sqrt{2} \] \[ H = 4 \sqrt{2} \]
Шаг 4: Расчёт
- Боковая поверхность:
\[ S_{бок} = 2 \pi R H = 2 \pi \times 4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} \]
Обратим внимание:
\[ 4 \sqrt{2} \times 4 \sqrt{2} = 4 \times 4 \times (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 16 \times 2 = 32 \]
Значит:
\[ S_{бок} = 2 \pi \times 32 = 64 \pi \]
- Площадь оснований:
\[ S_{осн} = 2 \pi R^2 = 2 \pi \times (4 \sqrt{2})^2 \]
\[ (4 \sqrt{2})^2 = 16 \times 2 = 32 \]
Тогда:
\[ S_{осн} = 2 \pi \times 32 = 64 \pi \]
Итог: площадь полной поверхности:
\[ S_{итого} = S_{бок} + S_{осн} = 64\pi + 64\pi = 128 \pi \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь полной поверхности цилиндра} = 128 \pi \text{ дм}^2 } \]
Приблизительно (используя \(\pi \approx 3.14\)):
\[ 128 \times 3.14 \approx 401.92 \text{ дм}^2 \]
