Высота, проведённая из прямого угла треугольника G H T GHT , равна 21 21 . Найди гипотенузу треугольника G H T GHT , если один из его катетов равен 35 35 .
Давайте внимательно разберем задачу.
Дано:
- В прямоугольном треугольнике \( GHT \).
- Высота, проведенная из прямого угла \( G \), равна 21 единице.
- Один из катетов равен 35 единиц.
- Нужно найти гипотенузу \( GT \).
Обозначения:
- Пусть \( G \) — это прямой угол.
- Катеты: \( GH \) и \( GT \).
- Гипотенуза: \( HT \).
- Высота, проведенная из \( G \) к гипотенузе \( HT \), делит гипотенузу на два отрезка: \( HK \) и \( KT \).
Шаг 1. Свойства высоты, проведенной из прямого угла в прямоугольном треугольнике
В прямоугольном треугольнике \( GHT \):
- Высота \( G \), проведённая к гипотенузе \( HT \), делит гипотенузу на два отрезка \( HK \) и \( KT \).
- Также свойство: высота из прямого угла делит гипотенузу пропорционально катетам:
\[ \frac{HK}{KT} = \frac{GH}{GT} \]
и
\[ GH \cdot HK = GT \cdot KT = \text{(площадь)}. \]
Шаг 2. Запишем известные данные:
- Высота из \( G \) равна 21:
\[ h = 21 \]
- Один из катетов равен 35. Пусть тот катет, который равен 35, — это \( GH \):
\[ GH = 35 \]
Другой катет — \( GT \), его обозначим как \( x \).
Гипотенуза \( HT \) — не известна, обозначим как \( c \).
Шаг 3. Связь высоты с катетами
Из свойства высоты в прямоугольном треугольнике:
\[ h = \frac{GH \times GT}{HT} \]
Подставим известные значения:
\[ 21 = \frac{35 \times x}{c} \]
Тогда:
\[ 35x = 21c \]
или:
\[ c = \frac{35x}{21} = \frac{5x}{3} \]
Так как \( c = HT \), то:
\[ HT = \frac{5x}{3} \]
Шаг 4. Используем теорему Пифагора
\[ GH^2 + GT^2 = HT^2 \]
или:
\[ 35^2 + x^2 = c^2 \]
Подставим \( c = \frac{5x}{3} \):
\[ 35^2 + x^2 = \left(\frac{5x}{3}\right)^2 \]
Раскроем степени:
\[ 1225 + x^2 = \frac{25x^2}{9} \]
Приведем к общему знаменателю:
\[ 1225 \times 9 + 9x^2 = 25x^2 \]
\[ 11025 + 9x^2 = 25x^2 \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 11025 = 25x^2 - 9x^2 \]
\[ 11025 = 16x^2 \]
Найдем \( x^2 \):
\[ x^2 = \frac{11025}{16} = \frac{11025}{16} \]
Вытянем корень:
\[ x = \sqrt{\frac{11025}{16}} = \frac{\sqrt{11025}}{4} \]
Так как \( \sqrt{11025} \) — это:
\[ \sqrt{11025} = 105 \]
(так как \( 105^2 = 11025 \)), то:
\[ x = \frac{105}{4} = 26.25 \]
Итог:
Гипотенуза \( HT \):
\[ HT = c = \frac{5x}{3} = \frac{5 \times 26.25}{3} = \frac{131.25}{3} = 43.75 \]
Ответ:
\[ \boxed{43.75} \]
Гипотенуза треугольника равна 43.75.
