Высота, проведённая из прямого угла треугольника  G H T GHT, равна  21 21. Найди гипотенузу треугольника  G H T GHT, если один из его катетов равен  35 35.

Давайте внимательно разберем задачу. ### Дано: - В прямоугольном треугольнике \( GHT \). - Высота, проведенная из прямого угла \( G \), равна 21 единице. - Один из катетов равен 35 единиц. - Нужно найти гипотенузу \( GT \). ### Обозначения: - Пусть \( G \) — это прямой угол. - Катеты: \( GH \) и \( GT \). - Гипотенуза: \( HT \). - Высота, проведенная из \( G \) к гипотенузе \( HT \), делит гипотенузу на два отрезка: \( HK \) и \( KT \). --- ## Шаг 1. Свойства высоты, проведенной из прямого угла в прямоугольном треугольнике В прямоугольном треугольнике \( GHT \): - Высота \( G \), проведённая к гипотенузе \( HT \), делит гипотенузу на два отрезка \( HK \) и \( KT \). - Также свойство: **высота из прямого угла делит гипотенузу пропорционально катетам**: \[ \frac{HK}{KT} = \frac{GH}{GT} \] и \[ GH \cdot HK = GT \cdot KT = \text{(площадь)}. \] --- ## Шаг 2. Запишем известные данные: - Высота из \( G \) равна 21: \[ h = 21 \] - Один из катетов равен 35. Пусть тот катет, который равен 35, — это \( GH \): \[ GH = 35 \] - Другой катет — \( GT \), его обозначим как \( x \). - Гипотенуза \( HT \) — не известна, обозначим как \( c \). --- ## Шаг 3. Связь высоты с катетами Из свойства высоты в прямоугольном треугольнике: \[ h = \frac{GH \times GT}{HT} \] Подставим известные значения: \[ 21 = \frac{35 \times x}{c} \] Тогда: \[ 35x = 21c \] или: \[ c = \frac{35x}{21} = \frac{5x}{3} \] **Так как \( c = HT \), то:** \[ HT = \frac{5x}{3} \] --- ## Шаг 4. Используем теорему Пифагора \[ GH^2 + GT^2 = HT^2 \] или: \[ 35^2 + x^2 = c^2 \] Подставим \( c = \frac{5x}{3} \): \[ 35^2 + x^2 = \left(\frac{5x}{3}\right)^2 \] Раскроем степени: \[ 1225 + x^2 = \frac{25x^2}{9} \] Приведем к общему знаменателю: \[ 1225 \times 9 + 9x^2 = 25x^2 \] \[ 11025 + 9x^2 = 25x^2 \] Перенесем все в одну сторону: \[ 11025 = 25x^2 - 9x^2 \] \[ 11025 = 16x^2 \] Найдем \( x^2 \): \[ x^2 = \frac{11025}{16} = \frac{11025}{16} \] Вытянем корень: \[ x = \sqrt{\frac{11025}{16}} = \frac{\sqrt{11025}}{4} \] Так как \( \sqrt{11025} \) — это: \[ \sqrt{11025} = 105 \] (так как \( 105^2 = 11025 \)), то: \[ x = \frac{105}{4} = 26.25 \] --- ## Итог: Гипотенуза \( HT \): \[ HT = c = \frac{5x}{3} = \frac{5 \times 26.25}{3} = \frac{131.25}{3} = 43.75 \] --- ## Ответ: \[ \boxed{43.75} \] Гипотенуза треугольника равна **43.75**.