Решите неравенство x ^ 4 - 6x ^ 3 + 9x ^ 2 - 16 >= 0

Давайте подробнее разберем неравенство:
\[x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 16 \geq 0\]

Шаг 1. Попробуем упростить выражение. Обратим внимание, что часть многочлена может быть приведена к квадрату.

Шаг 2. Исследуем часть \(x^4 - 6x^3 + 9x^2\).
Обратим внимание, что это могут быть члены квадрата. Попробуем записать это выражение в виде полного квадрата.

Рассмотрим выражение:
\((x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 + 2pqx + q^2\)

Нам нужна форма, сходная с нашей: \(x^4 - 6x^3 + 9x^2\).

Обратим внимание, что:
\(x^4 - 6x^3 + 9x^2 = (x^2 - 3x)^2\) если проверить.

Проведем проверку:
\((x^2 - 3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2\)

Да, именно так и есть!
— это квадрат выражения \((x^2 - 3x)\).

Следовательно, исходное неравенство переписывается как:
\[(x^2 - 3x)^2 - 16 \geq 0\]

Шаг 3. Решим неравенство:
\[(x^2 - 3x)^2 \geq 16\]

Обозначим: \(y = x^2 - 3x\). Тогда:
\[y^2 \geq 16\]
или
\(|y| \geq 4\).

Или развернутая форма:
\[y \leq -4 \quad \text{или} \quad y \geq 4\]

Теперь возвращаемся к переменной \(x\):

1. Первая часть:
   \[x^2 - 3x \leq -4\]
2. Вторая часть:
   \[x^2 - 3x \geq 4\]

Рассмотрим каждую неравенство отдельно.

1. Решение неравенства \(x^2 - 3x \leq -4\)

Перенесем все в левую сторону:
\[x^2 - 3x + 4 \leq 0\]

Рассмотрим квадратичное выражение:
\[x^2 - 3x + 4\]

Найдем дискриминант:
\(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 - 16 = -7\)

Дискриминант отрицателен, значит, квадратичная функция никогда не равна нулю, и поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, то выражение \(x^2 - 3x + 4\) всегда положительно.

Следовательно,:
\[x^2 - 3x + 4 > 0\] для всякого \(x\).

Это означает, что
\[x^2 - 3x \leq -4\] — не имеет решений, так как левая часть не может быть меньше или равна \(-4\).

2. Решение неравенства \(x^2 - 3x \geq 4\)

Перенесем:
\[x^2 - 3x - 4 \geq 0\]

Рассчитаем дискриминант этого квадратика:
\(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\)

Корни равны:
\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \]

То есть:
\[ x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \]

Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \(x^2 - 3x - 4 \geq 0\) выполняется при:
\[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \]

Итог

1. Первая часть — решений нет.
2. Вторая часть — решения при \(x \leq -1\) или \(x \geq 4\).

Ответ:
\[ \boxed{ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 } \]

Это и есть решение исходного неравенства.