Решите неравенство x ^ 4 - 6x ^ 3 + 9x ^ 2 - 16 >= 0

Давайте подробнее разберем неравенство: \[x^4 - 6x^3 + 9x^2 - 16 \geq 0\] Шаг 1. Попробуем упростить выражение. Обратим внимание, что часть многочлена может быть приведена к квадрату. Шаг 2. Исследуем часть \(x^4 - 6x^3 + 9x^2\). Обратим внимание, что это могут быть члены квадрата. Попробуем записать это выражение в виде полного квадрата. Рассмотрим выражение: \((x^2 + px + q)^2 = x^4 + 2px^3 + (p^2 + 2q)x^2 + 2pqx + q^2\) Нам нужна форма, сходная с нашей: \(x^4 - 6x^3 + 9x^2\). Обратим внимание, что: \(x^4 - 6x^3 + 9x^2 = (x^2 - 3x)^2\) если проверить. Проведем проверку: \((x^2 - 3x)^2 = x^4 - 6x^3 + 9x^2\) Да, именно так и есть! — это квадрат выражения \((x^2 - 3x)\). Следовательно, исходное неравенство переписывается как: \[(x^2 - 3x)^2 - 16 \geq 0\] Шаг 3. Решим неравенство: \[(x^2 - 3x)^2 \geq 16\] Обозначим: \(y = x^2 - 3x\). Тогда: \[y^2 \geq 16\] или \(|y| \geq 4\). Или развернутая форма: \[y \leq -4 \quad \text{или} \quad y \geq 4\] Теперь возвращаемся к переменной \(x\): 1. Первая часть: \[x^2 - 3x \leq -4\] 2. Вторая часть: \[x^2 - 3x \geq 4\] Рассмотрим каждую неравенство отдельно. --- ### 1. Решение неравенства \(x^2 - 3x \leq -4\) Перенесем все в левую сторону: \[x^2 - 3x + 4 \leq 0\] Рассмотрим квадратичное выражение: \[x^2 - 3x + 4\] Найдем дискриминант: \(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 9 - 16 = -7\) Дискриминант отрицателен, значит, квадратичная функция *никогда не равна нулю*, и поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, то выражение \(x^2 - 3x + 4\) всегда положительно. Следовательно,: \[x^2 - 3x + 4 > 0\] для всякого \(x\). Это означает, что \[x^2 - 3x \leq -4\] — **не имеет решений**, так как левая часть не может быть меньше или равна \(-4\). --- ### 2. Решение неравенства \(x^2 - 3x \geq 4\) Перенесем: \[x^2 - 3x - 4 \geq 0\] Рассчитаем дискриминант этого квадратика: \(\Delta = (-3)^2 - 4 \times 1 \times (-4) = 9 + 16 = 25\) Корни равны: \[ x = \frac{3 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{3 \pm 5}{2} \] То есть: \[ x_1 = \frac{3 - 5}{2} = -1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{3 + 5}{2} = 4 \] Поскольку коэффициент при \(x^2\) положителен, парабола направлена вверх, и неравенство \(x^2 - 3x - 4 \geq 0\) выполняется при: \[ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 \] --- ### Итог 1. Первая часть — решений нет. 2. Вторая часть — решения при \(x \leq -1\) или \(x \geq 4\). **Ответ:** \[ \boxed{ x \leq -1 \quad \text{или} \quad x \geq 4 } \] Это и есть решение исходного неравенства.