сделать математику
Конечно! Вот подробное решение некоторых из приведённых интегралов с объяснениями:
Задача 1.∫ 24x^3 dx
Это стандартный интеграл многочлена. Правило: интеграл \( x^n \) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\), если \( n \neq -1 \).
Решение:
\[ \int 24x^3 dx = 24 \int x^3 dx = 24 \times \frac{x^{4}}{4} = 6x^{4} + C \]
Задача 2.∫ 16x^2 dx
Аналогично.
Решение:
\[ \int 16x^2 dx = 16 \times \frac{x^{3}}{3} = \frac{16}{3} x^{3} + C \]
Задача 3.∫ 5 / 2√x dx
Можно вынести за скобки дробь и представить интеграл как:
\[ \frac{5}{2} \int x^{-1/2} dx \]
Решение:
\[ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \]
Здесь \( n = -\frac{1}{2} \).
\[ \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} \]
Итак,
\[ \frac{5}{2} \times 2x^{1/2} = 5 x^{1/2} + C \]
Задача 4.∫ 4x^3 dx
Используем правило интегрирования многочлена:
\[ \int 4x^3 dx = 4 \times \frac{x^4}{4} = x^4 + C \]
Задача 5.∫ -3sin x dx
Интеграл синуса:
\[ \int \sin x dx = -\cos x + C \]
Следовательно,
\[ \int -3 \sin x dx = -3 \times (-\cos x) = 3 \cos x + C \]
Задача 6.∫ cos x/2 dx
Интеграл косинуса:
\[ \int \cos x dx = \sin x + C \]
Но тут есть деление на 2 внутри функции, т.е.:
\[ \int \cos \frac{x}{2} dx \]
Используем замену:
Пусть \( t = \frac{x}{2} \Rightarrow dt = \frac{1}{2} dx \Rightarrow dx = 2 dt \)
Тогда:
\[ \int \cos t \times 2 dt = 2 \int \cos t dt = 2 \sin t + C \]
Вернёмся к x:
\[ 2 \sin \frac{x}{2} + C \]
Если нужно больше решений — дайте знать!
