Сделать математику

Конечно! Вот подробное решение некоторых из приведённых интегралов с объяснениями: --- ### Задача 1.∫ 24x^3 dx Это стандартный интеграл многочлена. Правило: интеграл \( x^n \) равен \(\frac{x^{n+1}}{n+1}\), если \( n \neq -1 \). **Решение:** \[ \int 24x^3 dx = 24 \int x^3 dx = 24 \times \frac{x^{4}}{4} = 6x^{4} + C \] --- ### Задача 2.∫ 16x^2 dx Аналогично. **Решение:** \[ \int 16x^2 dx = 16 \times \frac{x^{3}}{3} = \frac{16}{3} x^{3} + C \] --- ### Задача 3.∫ 5 / 2√x dx Можно вынести за скобки дробь и представить интеграл как: \[ \frac{5}{2} \int x^{-1/2} dx \] Решение: \[ \int x^{n} dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Здесь \( n = -\frac{1}{2} \). \[ \int x^{-1/2} dx = \frac{x^{1/2}}{1/2} = 2x^{1/2} \] Итак, \[ \frac{5}{2} \times 2x^{1/2} = 5 x^{1/2} + C \] --- ### Задача 4.∫ 4x^3 dx Используем правило интегрирования многочлена: \[ \int 4x^3 dx = 4 \times \frac{x^4}{4} = x^4 + C \] --- ### Задача 5.∫ -3sin x dx Интеграл синуса: \[ \int \sin x dx = -\cos x + C \] Следовательно, \[ \int -3 \sin x dx = -3 \times (-\cos x) = 3 \cos x + C \] --- ### Задача 6.∫ cos x/2 dx Интеграл косинуса: \[ \int \cos x dx = \sin x + C \] Но тут есть деление на 2 внутри функции, т.е.: \[ \int \cos \frac{x}{2} dx \] Используем замену: Пусть \( t = \frac{x}{2} \Rightarrow dt = \frac{1}{2} dx \Rightarrow dx = 2 dt \) Тогда: \[ \int \cos t \times 2 dt = 2 \int \cos t dt = 2 \sin t + C \] Вернёмся к x: \[ 2 \sin \frac{x}{2} + C \] --- Если нужно больше решений — дайте знать!