Вася, Петя и Коля получили задачу. Им были даны прямая т и точки А и В вне её. Мальчикам нужно было построить точку К на прямой т, равноудалённую от точек А и В. Вася обозначил…

Рассмотрим подробно каждое из решений и определим, кто из мальчиков построил точку К правильно.

Задача:
Найдите точку К на прямой т, которая равнаудалена от точек А и В, то есть — точка, где ее расстояние до А равно расстоянию до В.

---

Анализ задачи

Если точка К находится на прямой т и равноудалена от точек А и В, то К – это середина отрезка АВ по отношению к ее точке на прямой т, но важно помнить:

• Поскольку К лежит на прямой т, и именно она должна находиться на расстоянии до А и В, лежащем на ней, то точка К — это ровно та точка на прямой т, которая одновременно равноудалена от А и В.

Ключевое: Все три мальчика нанесли свои построения, использующие разные подходы. Нужно понять, какой из них дает правильную точку К — точку равноудалённую от А и В, расположенную на прямой т.

---

Решения каждого мальчика

Вася:

• Обозначил точку М как середину АВ.
• Построил перпендикуляр из М на прямую т.
• Точку К — как точку пересечения прямой т и этого перпендикуляра.

Анализ:

• Точка М — середина отрезка АВ.
• Построение перпендикуляра из М к прямой т, а затем его пересечение с т — это точка, которая лежит на медиане, проведённой из середины АВ на прямую т.

Вывод:
Это строение определяет точку, к которой проекция середины АВ на прямую т. Однако, не обязательно эта точка равноудалена от А и В, так как точки А и В не обязательно расположены так, чтобы М был равноудален.

Верное утверждение:
Это некорректный способ поиска точки равноудаленной от А и В, потому что серединное построение не учитывает позицию точек А и В относительно прямой т.

---

Петя:

• Обозначил M как середину АВ.
• Построил перпендикуляр из М к прямой т.
• Затем точку К как пересечение т и прямой, проходящей через М и перпендикулярной к АВ.

Анализ:

• Перпендикулярная к АВ через М — это медиана, которая делит АВ пополам.
• Пересечение такой прямой с т — не обязательно говорит о равноудаленности А и В, это скорее выполнение не связанного с этим свойства построения.

Вывод:
Это построение тоже не гарантирует, что точка К — равноудалена от А и В, так как оно оперирует только через середину и перпендикуляр к АВ, а не через саму линию т.

---

Коля:

• Провел перпендикуляр из А на прямую т и обозначил точку H.
• Провел перпендикуляр из В на прямую т и обозначил точку №.
• Взял точку К как середину отрезка НМ, где H и № — пересечения перпендикуляров из А и В.

Анализ:

• Точки H и № — проекции А и В на прямую т перпендикулярами из А и В.

• Точка \( N \) — перекрывается с отношением перпендикуляров.

• Построение середины НМ — то есть, точка, делящая пополам отрезок между двумя проекциями.

Что такое равноудаленность?

• Точка, равноудаленная от А и В, находится на биссектрисе или по свойству — является средней точкой между двумя проекциями А и В на линию t, если проекции находятся по одну сторону от этого места.
• Тут построение просто:
  • Drawing perpendiculars from A and B to t gives points H and N.
  • Tут — что обозначает точка К? — середина отрезка НМ.

Но — точки H и N — это проекции точек А и В на линию t.
Тогда:

• Точка, середина НМ, является точкой, которая лежит посередине между проекциями А и В на линию t.
• А точка, равноудаленная от А и В по прямой, это именно точка, лежащая на линии, которая является срединной между проекциями.

Заключение:
Это построение точно дает точку, которая находится на биссектрисе (прямой т), равноудаленной от А и В.

---

Итог:

• Точка, равноудаленная от А и В на прямой, — это середина сегмента, соединяющего проекции А и В на линию t, то есть, точка, полученная срединным построением от проекций — именно так делает Коля.

---

Ответ:

Коля правильно отметил точку К, так как его построение — это точка середины отрезка между проекциями А и В на линию t, что и есть точка, равноудаленная от А и В на данной прямой.

---

Если есть еще вопросы — обращайтесь!