Рассмотрим данное уравнение:
[
(x^2 - 25)^2 + (x^2 + 3x - 10)^2 = 0
]
Цель — понять, как найти решения этого уравнения.
Шаг 1. Обратите внимание, что сумма двух квадратов равна нулю:
[
A^2 + B^2 = 0
]
где (A = x^2 - 25), а (B = x^2 + 3x - 10).
Известно, что квадрат любого числа неотрицателен (\geq 0), и сумма двух неотрицательных чисел равна нулю, только если оба числа равны нулю.
То есть:
[
A^2 = 0 \quad \text{и} \quad B^2 = 0
]
или
[
A = 0 \quad \text{и} \quad B = 0
]
Шаг 2. Решим систему уравнений:
[
x^2 - 25 = 0
]
[
x^2 + 3x - 10 = 0
]
Решение первого уравнения:
[
x^2 - 25 = 0
]
[
x^2 = 25
]
[
x = \pm 5
]
Решение второго уравнения:
[
x^2 + 3x - 10 = 0
]
Используем дискриминант:
[
D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49
]
Корни:
[
x = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{-3 \pm 7}{2}
]
[
x = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2
]
[
x = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5
]
Теперь найдем пересечение решений:
Из первого уравнения: (x = \pm 5)
Из второго уравнения: (x = 2, -5)
Общие решения — это значения, которые удовлетворяют обоим уравнениям.
Значит, решения:
[
x = -5
]
так как оно есть и в первом, и во втором уравнении.
Итог:
Единственное решение уравнения — (\boxed{x = -5}).
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — скажите!
