найдите площадь квадрата около которого описана окружность радиуса 8

Давайте разберемся с задачей поэтапно.

Условие:
"найдите площадь квадрата, около которого описана окружность радиуса 8".

Что значит "около которого описана окружность"?

Это означает, что окружность является описанной окружностью квадрата. То есть, окружность проходит через все вершины квадрата.

Что нам известно?

• Радиус описанной окружности \( R = 8 \).
• Нам нужно найти площадь квадрата \( S \).

Связь между окружностью и квадратом

Если окружность является описанной, то:

• Центр окружности совпадает с центром квадрата.
• Радиус окружности равен расстоянию от центра квадрата до любой его вершины.

Для квадрата:

• Поля диагонали \( d \) связаны со стороной \( a \) через формулу:
  \[ d = a \sqrt{2} \]
• Центр квадрата — это точка пересечения диагоналей.
• Окружность, описанная вокруг квадрата, касается всех вершин.
  Радиус окружности равен половине диагонали:
  \[ R = \frac{d}{2} \]

Вывод:

\[ d = 2R \] \[ a \sqrt{2} = 2 R \] \[ a = \frac{2 R}{\sqrt{2}} = R \sqrt{2} \]

Подставляем значение \( R = 8 \):

\[ a = 8 \times \sqrt{2} \]

Читаем далее — площадь квадрата:

\[ S = a^2 \] \[ S = (8 \sqrt{2})^2 = 8^2 \times (\sqrt{2})^2 = 64 \times 2 = 128 \]

Ответ:

Площадь квадрата равна 128.