Исполнитель Черепашка перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У…

Давайте по шагам разберем задачу и решим ее:

Задача:
Черепашка перемещается по плоскости с помощью команд, формирующих многоугольник. Нам нужно построить этот многоугольник по указанному алгоритму и посчитать количество точек с целыми координатами, находящихся внутри него (не по границе).

Исходные данные:

• Повторить 7 раз:
  • Вперед (7)
  • Вправо(90)

Шаги решения:

1. Построение многоугольника

Расмотрим движение черепашки пошагово.

• Начинаем в точке (0,0), направлены по оси X (по умолчанию).

Изначально:

• Текущие координаты: (x, y) = (0, 0)
• Текущий вектор направления: вправо (по оси X)

Каждый цикл из 2 команд:

• "Вперед (7)": перемещение на 7 по текущему направлению
• "Вправо(90)": изменение направления вращением по часовой стрелке на 90°.

Это повторится 7 раз.

2. Пошаговый расчет координат и направления

Изначально:

• Вектор направления: (dx, dy) = (1, 0) (вправо)

Цикл 1:

• Вперед(7):
  • Новая позиция: (0 + 71, 0 + 70) = (7, 0)
• Вправо(90):
  • Поворот вектора направления: (1,0) повернуть по часовой на 90° → (0, -1)

Цикл 2:

• Вперед(7):
  • Новая позиция: (7 + 70, 0 + 7(-1)) = (7, -7)
• Вправо(90):
  • Вектор: (0, -1) повернуть на 90° по часовой: (1, 0) (следовательно, направление в сторону вправо)

Цикл 3:

• Вперед(7):
  • (7 + 71, -7 + 70) = (14, -7)
• Вправо(90):
  • (1, 0) повернутый на 90° по часовой: (0, 1)

Цикл 4:

• Вперед(7):
  • (14 + 70, -7 + 71) = (14, 0)
• Вправо(90):
  • (0, 1) повернутый на 90°: (-1, 0)

Цикл 5:

• Вперед(7):
  • (14 + 7*(-1), 0 + 7*0) = (7, 0)
• Вправо(90):
  • (-1, 0) повернутый на 90°: (0, -1)

Цикл 6:

• Вперед(7):
  • (7 + 70, 0 + 7(-1)) = (7, -7)
• Вправо(90):
  • (0, -1) повернутый на 90°: (1, 0)

Цикл 7:

• Вперед(7):
  • (7 + 71, -7 + 70) = (14, -7)
• Вправо(90):
  • (1, 0) повернутый на 90°: (0, 1)

Итак, финальная точка после восьми команд:

• Последняя позиция: (14, -7)

---

3. Построение многоугольника через вершины

Вероятнее всего, вершинами многоугольника будут последовательные точки на пути черепашки:
Вершины:

1. (0,0) — старт
2. (7,0)
3. (7, -7)
4. (14, -7)
5. (14, 0)
6. (7, 0) (закрываем) — но это уже внутри, нужно проверить.

Обратите внимание, что путь возвращается к точке (7,0), которая раньше была достигнута. Чтобы понять, какой многоугольник получили, лучше нарисовать линиями последовательные вершины:

• (0, 0) → (7, 0) → (7, -7) → (14, -7) → (14, 0) → (7, 0).

Это, фактически, фигура, которая состоит из 4 сторон:

Линии:

• (0,0) → (7,0)
• (7,0) → (7,-7)
• (7,-7) → (14,-7)
• (14,-7) → (14,0)
• (14,0) → (7,0) — линия возвращается и получается "ломанная" фигура

Но кажется, что многоугольник – это замкнутая фигура, можно соединить все вершины.

4. Построение многоугольника (простой многоугольник)

Обратив внимание:

• Вершины: (0,0), (7,0), (7,-7), (14,-7), (14,0)
• И возвращается к (7,0) — внутри многоугольника

Это многоугольник с вершинами:
\[ (0,0),~ (7,0),~ (7,-7),~ (14,-7),~ (14,0) \]

5. Решение задачи (подсчет точек с целыми координатами внутри многоугольника)

Теперь у нас есть многоугольник — многоугольник с вершинами в координатах:

• (0, 0),
• (7, 0),
• (7, -7),
• (14, -7),
• (14, 0).

Это четырёхугольник с одной "горизонтальной" вершиной и двумя вертикальными сторонами.

Используем формулу площадь многоугольника по координатам (формула Гаусса):

\[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) \right| \]

где вершина (x_{n+1}, y_{n+1}) — это первая вершина, чтобы закрыть многоугольник.

Вершины по порядку:

1. (0, 0)
2. (7, 0)
3. (7, -7)
4. (14, -7)
5. (14, 0)

Переходим к подсчету:

\[ \begin{aligned} \text{Сумма} &= x_1 y_2 - y_1 x_2 + x_2 y_3 - y_2 x_3 + x_3 y_4 - y_3 x_4 + x_4 y_5 - y_4 x_5 + x_5 y_1 - y_5 x_1 \\ &= (0)(0) - (0)(7) + (7)(-7) - (0)(7) + (7)(-7) - (-7)(14) + (14)(0) - (-7)(14) + (14)(0) - (0)(0) \\ \end{aligned} \]

Подробно:

• (0)(0) - (0)(7) = 0 - 0 = 0
• (7)(-7) - (0)(7) = -49 - 0 = -49
• (7)(-7) - (-7)(14) = -49 - (-98) = -49 + 98 = 49
• (14)(0) - (-7)(14) = 0 - (-98) = 98
• (14)(0) - (0)(0) = 0 - 0 = 0

Сумма:
0 - 49 + 49 + 98 + 0 = 98

Площадь:
\[ S = \frac{1}{2} \times |98| = 49 \]

6. Количество точек внутри многоугольника (по формуле Пуассона)

Формула для числа внутренних целых точек:
\[ I = S - \frac{B}{2} + 1 \]

где:

• \(S\) — площадь многоугольника (в делениях)
• \(B\) — количество точек на границе многоугольника

Но обычно:
\[ \text{Количество внутренних точек} = \text{Area} - \frac{\text{Number of boundary points}}{2} + 1 \]

Для целых многоугольника, если плоскость делена на клетчатую сетку, можно использовать формулу Pick'a:

\[ A = \text{Площадь} \]

и количество точек на границе может быть посчитано по вершинам и сторонам.

Общая идея:

• Расчет на основе теоремы Пика — число внутренних точек равно площади минус половина количества точек на границе, плюс 1.

---

7. Подсчет точек на границе (\(B\))

Обстоит дело о каждом ребре:
Количество точек на ребре (включая вершины) равно:

\[ \gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) \]

и суммировать по всем сторонам.

Перебираем стороны:

1. (0, 0) — (7, 0):
   \(|7 - 0|=7\), \(|0 - 0|=0\) → \(\gcd(7, 0)=7\)
2. (7, 0) — (7, -7):
   \(|7 - 7|=0\), \(|-7 - 0|=7\) → \(\gcd(0,7)=7\)
3. (7, -7) — (14, -7):
   \(|14 - 7|=7\), \(|-7 -(-7)|=0\) → \(\gcd(7, 0)=7\)
4. (14, -7) — (14, 0):
   \(|14 - 14|=0\), \(|0 - (-7)|=7\) → \(\gcd(0,7)=7\)
5. (14, 0) — (0, 0):
   \(|0 -14|=14\), \(|0 - 0|=0\) → \(\gcd(14, 0)=14\)

Общее число точек на границе:

\[ B = 7 + 7 + 7 + 7 + 14 = 42 \]

8. Подсчет внутренних точек \(I\):

Используя формулу:

\[ I = S - \frac{B}{2} + 1 \]

и учитывая, что площадь \(S=49\):

\[ I = 49 - \frac{42}{2} + 1 = 49 - 21 + 1 = 29 \]

---

Ответ:

Количество целых точек, находящихся внутри многоугольника: \(\boxed{29}\).

Если есть дополнительные вопросы или нужно проверка, пожалуйста, скажите!