Исполнитель Черепашка перемещается на экране компьютера, оставляя след в виде линии. В каждый конкретный момент известно положение исполнителя и направление его движения. У исполнителя существуют две команды: Болерод (п) (где и целое число), вызывающая передвижение Черепашни на пше в направления движения. Направо(т) (где целое число), вызывающая изменение направления даюмения на градусов по часовой стрелке. Запись Повтори А (Команда1 Команда 2 Команда 3) означает, что последовательность команд в скобках повторится к раз Черепашке был дан для исполнения следующий алгоритм: Повтори 7 (Вперед (7) Вправо(90)) Постройте многоугольник в среде исполнителя «Черепахая программы «Кумира и посчитайте количести точек с целыми координатами, которые находятся внутри фигуры (точки на границе считать не нужно).

Давайте по шагам разберем задачу и решим ее: **Задача:** Черепашка перемещается по плоскости с помощью команд, формирующих многоугольник. Нам нужно построить этот многоугольник по указанному алгоритму и посчитать количество точек с целыми координатами, находящихся внутри него (не по границе). **Исходные данные:** - Повторить 7 раз: - Вперед (7) - Вправо(90) **Шаги решения:** ### 1. Построение многоугольника Расмотрим движение черепашки пошагово. - Начинаем в точке (0,0), направлены по оси X (по умолчанию). **Изначально:** - Текущие координаты: (x, y) = (0, 0) - Текущий вектор направления: вправо (по оси X) **Каждый цикл из 2 команд:** - "Вперед (7)": перемещение на 7 по текущему направлению - "Вправо(90)": изменение направления вращением по часовой стрелке на 90°. Это повторится 7 раз. ### 2. Пошаговый расчет координат и направления **Изначально:** - Вектор направления: (dx, dy) = (1, 0) (вправо) **Цикл 1:** - Вперед(7): - Новая позиция: (0 + 7*1, 0 + 7*0) = (7, 0) - Вправо(90): - Поворот вектора направления: (1,0) повернуть по часовой на 90° → (0, -1) **Цикл 2:** - Вперед(7): - Новая позиция: (7 + 7*0, 0 + 7*(-1)) = (7, -7) - Вправо(90): - Вектор: (0, -1) повернуть на 90° по часовой: (1, 0) (следовательно, направление в сторону вправо) **Цикл 3:** - Вперед(7): - (7 + 7*1, -7 + 7*0) = (14, -7) - Вправо(90): - (1, 0) повернутый на 90° по часовой: (0, 1) **Цикл 4:** - Вперед(7): - (14 + 7*0, -7 + 7*1) = (14, 0) - Вправо(90): - (0, 1) повернутый на 90°: (-1, 0) **Цикл 5:** - Вперед(7): - (14 + 7*(-1), 0 + 7*0) = (7, 0) - Вправо(90): - (-1, 0) повернутый на 90°: (0, -1) **Цикл 6:** - Вперед(7): - (7 + 7*0, 0 + 7*(-1)) = (7, -7) - Вправо(90): - (0, -1) повернутый на 90°: (1, 0) **Цикл 7:** - Вперед(7): - (7 + 7*1, -7 + 7*0) = (14, -7) - Вправо(90): - (1, 0) повернутый на 90°: (0, 1) Итак, финальная точка после восьми команд: - Последняя позиция: (14, -7) --- ### 3. Построение многоугольника через вершины Вероятнее всего, вершинами многоугольника будут **последовательные точки** на пути черепашки: Вершины: 1. (0,0) — старт 2. (7,0) 3. (7, -7) 4. (14, -7) 5. (14, 0) 6. (7, 0) (закрываем) — но это уже внутри, нужно проверить. Обратите внимание, что путь возвращается к точке (7,0), которая раньше была достигнута. Чтобы понять, какой многоугольник получили, лучше нарисовать линиями последовательные вершины: - (0, 0) → (7, 0) → (7, -7) → (14, -7) → (14, 0) → (7, 0). Это, фактически, фигура, которая состоит из 4 сторон: Линии: - (0,0) → (7,0) - (7,0) → (7,-7) - (7,-7) → (14,-7) - (14,-7) → (14,0) - (14,0) → (7,0) — линия возвращается и получается "ломанная" фигура Но кажется, что многоугольник – это замкнутая фигура, можно соединить все вершины. ### 4. Построение многоугольника (простой многоугольник) Обратив внимание: - Вершины: (0,0), (7,0), (7,-7), (14,-7), (14,0) - И возвращается к (7,0) — внутри многоугольника Это многоугольник с вершинами: \[ (0,0),~ (7,0),~ (7,-7),~ (14,-7),~ (14,0) \] ### 5. Решение задачи (подсчет точек с целыми координатами внутри многоугольника) Теперь у нас есть многоугольник — многоугольник с вершинами в координатах: - (0, 0), - (7, 0), - (7, -7), - (14, -7), - (14, 0). Это четырёхугольник с одной "горизонтальной" вершиной и двумя вертикальными сторонами. Используем формулу **площадь многоугольника по координатам (формула Гаусса)**: \[ S = \frac{1}{2} \left| \sum_{i=1}^{n} (x_i y_{i+1} - y_i x_{i+1}) \right| \] где вершина (x_{n+1}, y_{n+1}) — это первая вершина, чтобы закрыть многоугольник. Вершины по порядку: 1. (0, 0) 2. (7, 0) 3. (7, -7) 4. (14, -7) 5. (14, 0) Переходим к подсчету: \[ \begin{aligned} \text{Сумма} &= x_1 y_2 - y_1 x_2 + x_2 y_3 - y_2 x_3 + x_3 y_4 - y_3 x_4 + x_4 y_5 - y_4 x_5 + x_5 y_1 - y_5 x_1 \\ &= (0)(0) - (0)(7) + (7)(-7) - (0)(7) + (7)(-7) - (-7)(14) + (14)(0) - (-7)(14) + (14)(0) - (0)(0) \\ \end{aligned} \] Подробно: - (0)(0) - (0)(7) = 0 - 0 = 0 - (7)(-7) - (0)(7) = -49 - 0 = -49 - (7)(-7) - (-7)(14) = -49 - (-98) = -49 + 98 = 49 - (14)(0) - (-7)(14) = 0 - (-98) = 98 - (14)(0) - (0)(0) = 0 - 0 = 0 Сумма: 0 - 49 + 49 + 98 + 0 = 98 Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times |98| = 49 \] ### 6. Количество точек внутри многоугольника (по формуле Пуассона) Формула для числа внутренних целых точек: \[ I = S - \frac{B}{2} + 1 \] где: - \(S\) — площадь многоугольника (в делениях) - \(B\) — количество точек на границе многоугольника Но обычно: \[ \text{Количество внутренних точек} = \text{Area} - \frac{\text{Number of boundary points}}{2} + 1 \] Для целых многоугольника, если плоскость делена на клетчатую сетку, можно использовать **формулу Pick'a**: \[ A = \text{Площадь} \] и количество точек на границе может быть посчитано по вершинам и сторонам. Общая идея: - Расчет на основе теоремы Пика — число внутренних точек равно площади минус половина количества точек на границе, плюс 1. --- ### 7. Подсчет точек на границе (\(B\)) Обстоит дело о каждом ребре: Количество точек на ребре (включая вершины) равно: \[ \gcd(|x_2 - x_1|, |y_2 - y_1|) \] и суммировать по всем сторонам. Перебираем стороны: 1. (0, 0) — (7, 0): \(|7 - 0|=7\), \(|0 - 0|=0\) → \(\gcd(7, 0)=7\) 2. (7, 0) — (7, -7): \(|7 - 7|=0\), \(|-7 - 0|=7\) → \(\gcd(0,7)=7\) 3. (7, -7) — (14, -7): \(|14 - 7|=7\), \(|-7 -(-7)|=0\) → \(\gcd(7, 0)=7\) 4. (14, -7) — (14, 0): \(|14 - 14|=0\), \(|0 - (-7)|=7\) → \(\gcd(0,7)=7\) 5. (14, 0) — (0, 0): \(|0 -14|=14\), \(|0 - 0|=0\) → \(\gcd(14, 0)=14\) Общее число точек на границе: \[ B = 7 + 7 + 7 + 7 + 14 = 42 \] ### 8. Подсчет внутренних точек \(I\): Используя формулу: \[ I = S - \frac{B}{2} + 1 \] и учитывая, что площадь \(S=49\): \[ I = 49 - \frac{42}{2} + 1 = 49 - 21 + 1 = 29 \] --- ### **Ответ:** **Количество целых точек, находящихся внутри многоугольника: \(\boxed{29}\).** Если есть дополнительные вопросы или нужно проверка, пожалуйста, скажите!