Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.
Задача:
Около прямоугольного треугольника с катетом ( AB = 8 ) см описана окружность радиуса ( R = 5 ) см. Необходимо найти гипотенузу ( AC ) и другой катет ( BC ).
Шаг 1. Определение известных данных
- Катет ( AB = 8 ) см
- Радиус окружности ( R = 5 ) см
- Окружность описана вокруг треугольника ( ABC )
Шаг 2. Что означает "описана окружность"?
Описанная окружность треугольника – это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Центр этой окружности называется описанной центром ( O ), и радиус — описанное радиус ( R ).
Для прямоугольного треугольника:
- Центр описанной окружности находится в точке, равноудаленной от всех вершин.
- Известно важное свойство: гипотенуза является диаметром окружности.
Шаг 3. Свойство для прямоугольного треугольника
Поскольку треугольник прямоугольный, и вершина ( C ) — это острый угол (обычно так обозначают), то:
- Гипотенуза ( AC ) — диаметр окружности.
- Радиус ( R ) равен половине гипотенузы:
[
R = \frac{AC}{2}
]
Потому что в описанной окружности гипотенуза — это диаметр.
Шаг 4. Нахождение гипотенузы
Из свойства, что гипотенуза — это диаметр, получаем:
[
AC = 2R = 2 \times 5 = 10 \text{ см}
]
Ответ: гипотенуза ( AC = 10 ) см.
Шаг 5. Найдение другого катета ( BC )
Теперь у нас есть:
- катет ( AB = 8 ) см
- гипотенуза ( AC = 10 ) см
- ( C ) — вершина, противоположная гипотенузе
Для прямоугольного треугольника ( ABC ):
[
AB^2 + BC^2 = AC^2
]
Подставляем известные значения:
[
8^2 + BC^2 = 10^2
]
[
64 + BC^2 = 100
]
[
BC^2 = 100 - 64 = 36
]
[
BC = \sqrt{36} = 6 \text{ см}
]
Ответ: другой катет ( BC = 6 ) см.
Итоги:
- Гипотенуза ( AC = 10 ) см
- Другой катет ( BC = 6 ) см
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее, скажите!
