Около прямоугольного треугольника с катетом 8 см описана окружность радиуса 5 см. Найдите гипотенузу и другой катет

Давайте решим задачу поэтапно, подробно объясняя каждый шаг.

Задача:
Около прямоугольного треугольника с катетом \( AB = 8 \) см описана окружность радиуса \( R = 5 \) см. Необходимо найти гипотенузу \( AC \) и другой катет \( BC \).

Шаг 1. Определение известных данных

• Катет \( AB = 8 \) см
• Радиус окружности \( R = 5 \) см
• Окружность описана вокруг треугольника \( ABC \)

Шаг 2. Что означает "описана окружность"?

Описанная окружность треугольника – это окружность, которая проходит через все три вершины треугольника. Центр этой окружности называется описанной центром \( O \), и радиус — описанное радиус \( R \).

Для прямоугольного треугольника:

• Центр описанной окружности находится в точке, равноудаленной от всех вершин.
• Известно важное свойство: гипотенуза является диаметром окружности.

Шаг 3. Свойство для прямоугольного треугольника

Поскольку треугольник прямоугольный, и вершина \( C \) — это острый угол (обычно так обозначают), то:

• Гипотенуза \( AC \) — диаметр окружности.
• Радиус \( R \) равен половине гипотенузы:

\[ R = \frac{AC}{2} \]

Потому что в описанной окружности гипотенуза — это диаметр.

Шаг 4. Нахождение гипотенузы

Из свойства, что гипотенуза — это диаметр, получаем:

\[ AC = 2R = 2 \times 5 = 10 \text{ см} \]

Ответ: гипотенуза \( AC = 10 \) см.

Шаг 5. Найдение другого катета \( BC \)

Теперь у нас есть:

• катет \( AB = 8 \) см
• гипотенуза \( AC = 10 \) см
• \( C \) — вершина, противоположная гипотенузе

Для прямоугольного треугольника \( ABC \):

\[ AB^2 + BC^2 = AC^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 8^2 + BC^2 = 10^2 \]

\[ 64 + BC^2 = 100 \]

\[ BC^2 = 100 - 64 = 36 \]

\[ BC = \sqrt{36} = 6 \text{ см} \]

Ответ: другой катет \( BC = 6 \) см.

Итоги:

• Гипотенуза \( AC = 10 \) см
• Другой катет \( BC = 6 \) см

Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее, скажите!