Давайте подробно разберем задачу.
Дано:
- После первого отскока мячик подпрыгнул на 5,4 м.
- Каждый следующий прыжок в 3 раза меньше предыдущего.
- Нужно найти номер прыжка, при котором высота впервые станет меньше 10 см (то есть 0,1 м).
Шаг 1: Запишем последовательность высот прыжков
Обозначим высоту первого прыжка как ( h_1 ).
Каждый следующий прыжок в 3 раза меньше предыдущего, значит:
- ( h_2 = \frac{h_1}{3} )
- ( h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{h_1}{3^2} )
- ( h_4 = \frac{h_1}{3^3} )
- и так далее...
Общий вид высоты на ( n )-м прыжке:
[
h_n = h_1 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1}
]
Шаг 2: Вычислим, при каком ( n ) высота станет меньше 0,1 м
Нам нужно найти минимальный ( n ), при котором:
[
h_n < 0,1,м
]
Подставим выражение для ( h_n ):
[
h_1 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < 0,1
]
Заменим ( h_1 = 5,4 ):
[
5,4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < 0,1
]
Шаг 3: Решение неравенства
Поделим обе части на 5,4:
[
\left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < \frac{0,1}{5,4}
]
Вычислим правую часть:
[
\frac{0,1}{5,4} \approx 0,01852
]
То есть:
[
\left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < 0,01852
]
Шаг 4: Логарифмируем неравенство
Чтобы решить неравенство, возьмем логарифмы обеих частей. Можно использовать любой логарифм, например, натуральный ((\ln)) или десятичный ((\log_{10})). Возьмем (\log_{10}):
[
\log_{10} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} \right) < \log_{10} (0,01852)
]
Используя свойства логарифмов:
[
(n - 1) \times \log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) < \log_{10}(0,01852)
]
Значения логарифмов:
[
\log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) = -\log_{10}(3) \approx -0,4771
]
[
\log_{10}(0,01852) \approx -1,732
]
Теперь запишем:
[
(n - 1) \times (-0,4771) < -1,732
]
Делим обе части на (-0,4771), не забывая, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:
[
n - 1 > \frac{-1,732}{-0,4771} \approx 3,629
]
Значит,
[
n - 1 > 3,629
]
Отсюда:
[
n > 4,629
]
Ответ:
Поскольку ( n ) — номер прыжка, и он не может быть дробным, — необходимо взять ближайшее большее целое число, большее 4,629, то есть:
[
n = 5
]
То есть, при пятом прыжке высота впервые станет меньше 10 см.
Итог:
Мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см на 5-м прыжке.
