Каучуковый мячик с силой бросили на асфальт. Отскочив, мячик подпрыгнул на 5,4 м, а при каждом следующем прыжке он поднимался на высоту в три раза меньше предыдущей. При каком по…

Давайте подробно разберем задачу.

Дано:

• После первого отскока мячик подпрыгнул на 5,4 м.
• Каждый следующий прыжок в 3 раза меньше предыдущего.
• Нужно найти номер прыжка, при котором высота впервые станет меньше 10 см (то есть 0,1 м).

---

Шаг 1: Запишем последовательность высот прыжков

Обозначим высоту первого прыжка как \( h_1 \).

• \( h_1 = 5,4\,м \)

Каждый следующий прыжок в 3 раза меньше предыдущего, значит:

• \( h_2 = \frac{h_1}{3} \)
• \( h_3 = \frac{h_2}{3} = \frac{h_1}{3^2} \)
• \( h_4 = \frac{h_1}{3^3} \)
• и так далее...

Общий вид высоты на \( n \)-м прыжке:

\[ h_n = h_1 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} \]

---

Шаг 2: Вычислим, при каком \( n \) высота станет меньше 0,1 м

Нам нужно найти минимальный \( n \), при котором:

\[ h_n < 0,1\,м \]

Подставим выражение для \( h_n \):

\[ h_1 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < 0,1 \]

Заменим \( h_1 = 5,4 \):

\[ 5,4 \times \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < 0,1 \]

---

Шаг 3: Решение неравенства

Поделим обе части на 5,4:

\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < \frac{0,1}{5,4} \]

Вычислим правую часть:

\[ \frac{0,1}{5,4} \approx 0,01852 \]

То есть:

\[ \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} < 0,01852 \]

---

Шаг 4: Логарифмируем неравенство

Чтобы решить неравенство, возьмем логарифмы обеих частей. Можно использовать любой логарифм, например, натуральный (\(\ln\)) или десятичный (\(\log_{10}\)). Возьмем \(\log_{10}\):

\[ \log_{10} \left( \left( \frac{1}{3} \right)^{n - 1} \right) < \log_{10} (0,01852) \]

Используя свойства логарифмов:

\[ (n - 1) \times \log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) < \log_{10}(0,01852) \]

Значения логарифмов:

\[ \log_{10} \left( \frac{1}{3} \right) = -\log_{10}(3) \approx -0,4771 \]

\[ \log_{10}(0,01852) \approx -1,732 \]

Теперь запишем:

\[ (n - 1) \times (-0,4771) < -1,732 \]

Делим обе части на \(-0,4771\), не забывая, что при делении на отрицательное число знак неравенства меняется:

\[ n - 1 > \frac{-1,732}{-0,4771} \approx 3,629 \]

Значит,

\[ n - 1 > 3,629 \]

Отсюда:

\[ n > 4,629 \]

---

Ответ:

Поскольку \( n \) — номер прыжка, и он не может быть дробным, — необходимо взять ближайшее большее целое число, большее 4,629, то есть:

\[ n = 5 \]

То есть, при пятом прыжке высота впервые станет меньше 10 см.

---

Итог:

Мячик в первый раз не достигнет высоты 10 см на 5-м прыжке.