Конечно! Рассмотрим задачу: найти уравнение касательной к графику функции ( y = 4 \sqrt{x} ) в точке, где ( x_0 = 4 ).
Шаг 1. Найдём координаты точки касания
Точка касания находится при ( x = x_0 = 4 ).
Подставим ( x_0 ) в функцию, чтобы найти соответствующее ( y ):
[
y_0 = 4 \sqrt{4} = 4 \times 2 = 8
]
Итак, точка касания: ( (4, 8) ).
Шаг 2. Найдём производную функции
Для нахождения касательной нам нужна производная функции ( y = 4\sqrt{x} ).
Напишем функцию в более удобной форме:
[
y = 4 \sqrt{x} = 4 x^{1/2}
]
Найдём производную по правилу:
[
\frac{dy}{dx} = 4 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2 x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}}
]
Шаг 3. Подставим ( x_0 ) в производную для получения наклона касательной
[
m = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=4} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1
]
Итак, наклон касательной равен ( m=1 ).
Шаг 4. Запишем уравнение касательной
Общее уравнение касательной в точке ( (x_0, y_0) ):
[
y - y_0 = m (x - x_0)
]
Подставим значения:
[
y - 8 = 1 \times (x - 4)
]
Получаем:
[
y - 8 = x - 4
]
или
[
y = x + 4
]
Ответ:
Уравнение касательной к графику функции ( y=4\sqrt{x} ) в точке ( x=4 ):
[
\boxed{
y = x + 4
}
]
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить какой-то шаг — обращайся!
