y=4√x, x0=4 уравнение касательной

Конечно! Рассмотрим задачу: найти уравнение касательной к графику функции \( y = 4 \sqrt{x} \) в точке, где \( x_0 = 4 \).

Шаг 1. Найдём координаты точки касания

Точка касания находится при \( x = x_0 = 4 \).

Подставим \( x_0 \) в функцию, чтобы найти соответствующее \( y \):

\[ y_0 = 4 \sqrt{4} = 4 \times 2 = 8 \]

Итак, точка касания: \( (4, 8) \).

Шаг 2. Найдём производную функции

Для нахождения касательной нам нужна производная функции \( y = 4\sqrt{x} \).

Напишем функцию в более удобной форме:

\[ y = 4 \sqrt{x} = 4 x^{1/2} \]

Найдём производную по правилу:

\[ \frac{dy}{dx} = 4 \times \frac{1}{2} x^{-1/2} = 2 x^{-1/2} = \frac{2}{\sqrt{x}} \]

Шаг 3. Подставим \( x_0 \) в производную для получения наклона касательной

\[ m = \frac{dy}{dx}\bigg|_{x=4} = \frac{2}{\sqrt{4}} = \frac{2}{2} = 1 \]

Итак, наклон касательной равен \( m=1 \).

Шаг 4. Запишем уравнение касательной

Общее уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \):

\[ y - y_0 = m (x - x_0) \]

Подставим значения:

\[ y - 8 = 1 \times (x - 4) \]

Получаем:

\[ y - 8 = x - 4 \]

или

\[ y = x + 4 \]

Ответ:

Уравнение касательной к графику функции \( y=4\sqrt{x} \) в точке \( x=4 \):

\[ \boxed{ y = x + 4 } \]

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробно объяснить какой-то шаг — обращайся!